Справочник по математике

Теорема

Формулировка

Геометрический смысл,

применение

1. Теорема

Функция y f x :

Ферма

1) определена на a,b ,

2) x0 a,b

f x0

max f (x)

x (a,b)

или f x0

min

f (x) ,

x (a,b)

f x0 tg 0 0

3) f x0 ,

тогда f x0 0

2. Теорема

Функция y f x :

Ролля

1) непрерывна на a,b ,

1)дифференцируема на a,b ,

2) f a f b ,

тогда x0 a,b f x0 0

f x0 tg 0 0

3. Теорема

Функция y f x :

Лагранжа

1) непрерывна на a,b ,

2) дифференцируема на a,b ,

тогда справедлива формула Ла-

гранжа (формула конечных при-

ращений):

f b f a f x0 b a

,

f x0 kкас kAB

где x0 a,b

Продолжение таблицы 38

Теорема

Формулировка

Геометрический смысл,

применение

4. Теорема

Функции y f x и y g x :

Эта теорема обобщает теорему

Коши

1) непрерывны на a,b ,

Лагранжа

2) дифференцируемы на a,b ,

3) x a,b

0,

g (x)

тогда x0 a,b

f (b) f (a)

f (x0 )

g(b) g(a)

g (x0)

5. Теорема

Функции y f x и y g x :

Позволяет раскрыть неопреде-

(правило)

1) непрерывны и дифференци-

0

Лопиталя

ленности вида

,

,

0

( a – число или ),

0

руемы в Ua

0 , , 1 , 00 ,

0

0 ,

2) x Ua g(x) 0 и g (x)

0 . При этом при раскры-

3)

f (x)

– неопределенность типа

g(x)

тии последних трех неопреде-

0

a ,

ленностей необходимо пред-

или

при x

0

варительно прологарифмиро-

f

вать функцию

4) существует

lim

(x)

A ,

x a g (x)

тогда

f x

x

lim

lim

f

A

x a g x

x a g x

( A – число или )

6. Формула

Функция y f x непрерывна и дифференцируема до n-го по-

Тейлора

рядка в Ua0 , тогда

(x a)2

(x a)3

f (x) f (a) (x a) f (a)

2!

f (a)

3!

f (a)

(x a)n 1

f (n 1) (a)

(x a)n

f (n) ( ),

(n 1)!

n!

где a (x a),

0 1.

Частный случай (а = 0) – формула Маклорена:

x2

xn 1

(n 1)

xn

(n)

f (x) f

2! f

(n 1)! f

n! f

( )

(0) xf (0)

(0)

(0)

Таблица 39

Свойства функции на интервале

Свойство

Определение

Достаточные условия

Геометрический смысл

1. Возрастание функции

x1, x2 a,b

Если x a,b f x 0,

y f x на a,b

x1 x2 f x1 f x2

то f x возрастает на

a,b

2. Убывание функции

x1, x2 a,b

Если x a,b f x 0 ,

y f x на a,b

x1 x2 f x1 f x2

то f x убывает на a,b

82

3. Выпуклость графика

График f x лежит под

Если x a,b f x 0 ,

функции y f x на a,b

касательной, проведенной в

то график f x – выпук-

любой точке a,b

лый на a,b

4. Вогнутость графика

График f x лежит над

Если x a,b f x 0 ,

функции y f x на a,b

касательной, проведенной в

то график f x – вогну-

любой точке a,b

тый на a,b

5.Постоянство функции

x1, x2 a,b

f x const на a,b

y f x на a,b

x1 x2 f x1 f x2

f

x 0 , x a,b

(необходимое и достаточ-

ное условие)

Характерные точки функции

Таблица 40

Точки

Определение

График

Необходимое

Достаточное условие

условие

1. Критическая

а) f x0 0

f x0 0 или f x0 – не существует

точка x x0

или

функции y f x

б) f x0 – не су-

ществует

2. Точка максиму-

x0 – т. max

x0 – точка экстре-

x0 – критическая точка.

ма (max) x x0

x U

x0

мума

I признак:

f x меняет знак с

функции y f x

(т. max или т. min),

f x f x0

«+» на «–», тогда x0 – т. max.

тогда

II признак:

f x0 0 , тогда

83

f x0 0

x0 – т. max

или

x0 – т. min

3. Точка миниму-

f x – не суще-

x0 – критическая точка.

ма (min) x x0

x U

x0

ствует

I признак:

f x меняет знак с

функции y f x

f x f x0

«–» на «+», тогда x0 – т. min.

II признак:

f x0 0 , тогда

x0 – т. min

4. Точка перегиба

Точка M0 x, y

M0 x0, y0 – точ-

1) f x0 0

или f x0 – не

(т.п.) M0 x0, y0

разделяет выпук-

ка перегиба, тогда

существует,

графика функции

лую и вогнутую

f x0

0 или

2) f x0 меняет знак при пе-

y f x

части графика

f x0

– не суще-

реходе через точку x0 ,

ствует

тогда M0 x0, y0 – точка пере-

гиба

Таблица 41

Асимптоты графика функции y f x

Вид асимптоты

Уравнение, график

Способ нахождения

1. Вертикальная

Найти:

асимптота x x0

1) D y ;

2) x0 – точку бесконеч-

ного разрыва функции:

lim

f x ;

x x0

3) записать уравнение

График может иметь бесчис-

x x0

ленное множество верти-

кальных асимптот

2. Наклонная асим-

Найти:

f x

птота y kx b

1) k

lim

;

x

x

2) b

lim

f x

kx ;

x

3) записать уравнение

График может иметь не бо-

y kx b .

лее двух наклонных асим-

Если хотя бы один из

птот

пределов не существует

3. Горизонтальная

или равен бесконечно-

асимптота y b , ча-

сти, то график не имеет

стный случай на-

наклонных асимптот

клонной асимптоты

k 0

85

Исследование функции

Таблица 42

Постановка задачи

План решения

1. Найти экстремумы

Найти:

1) D y , точку (точки) разрыва x1 (т.р.);

функции y f x

пер-

2)

критические точки x2, x3, x4

из условия:

f x 0

вым способом (с помо-

или f x – не существует;

щью f x )

3)

знаки f x

на интервалах;

4)

экстремумы:

ymax y x2 ,

ymin y x3

Результаты исследования представить в виде таблицы:

x

( , x1)

x1

(x1, x2 )

x2

(x2, x3)

x3

(x3, x4 )

x4

(x4, )

f x

0

не сущ.

0

f x

т.р.

max

min

нет

2. Найти экстремумы

Найти:

1) D y ;

функции y f x вто-

2)

критические точки x1, x2

из условия

f x 0 ;

рым способом (с помо-

3)

знаки f x1 ,

f x2 , сделать вывод:

ymax , ymin

щью f x )

3. Найти наибольшее M

Найти:

1) D y a,b ;

и наименьшее m значе-

2)

критические точки x1, x2 a,b

из условия:

ния функции y f x на

f x 0 или

f x

– не существует;

a,b

3)

вычислить

f x1 , f x2 , f a ,

f b ;

4)

сделать вывод: M , m

4. Найти интервалы вы-

Найти:

1) D y , точку (точки) разрыва x1;

пуклости, вогнутости,

2)

точки x2

, x3 , подозрительные на точки перегиба,

точки перегиба графика

из условия:

f x

0 или f x – не существует;

функции y f x

знаки f

x на интервалах;

4) т.п. M x2, f x2

3)

Результаты исследования представить в виде таблицы:

x

( , x1)

x1

(x1, x2 )

x2

(x2, x3)

x3

(x3, )

f x

0

не сущ.

f x

выпукл.

т.р.

вогнут.

т.п.

выпукл.

нет т.п.

выпукл.

5. Провести полное ис-

Найти:

1) D y , т.р., вертикальные асимптоты;

следование функции

2)

наклонные асимптоты;

y f x

3)

свойство четности, нечетности, периодичности;

4)

корни функции, интервалы знакопостоянства;

5)

интервалы монотонности, экстремумы функции;

6)

интервалы выпуклости, вогнутости, т.п.;

7)

построить график функции

собом: y

x2

.

x 1

а)

0 x

2

2x 0

при x1 2 ,

x2

0 (критические точки),

y

б)

при x3

1 D y .

y

x

( ; 2)

2

( 2; 1)

1

( 1; 0)

0

(0; )

3)

y

0

0

y

max

т.р.

min

4) ymax y 2 4 , ymin y 0

0.

Ответ:

y

возрастает

на

; 2

0; ; y убывает на

2; 1

1;

0 ;

ymax 2 4 ; ymin

0 0 .

16

2 x3 8

2) y

2x x2

x2

0

x

3

8

0

при x1 2 1;

4 ,

а) y

0 x x 3 0 при x1 0

, x2 3 (точки, подозрительные на пе-

а) y

региб).

б) y

– не существует .

x

( ; 0)

0

(0; 3)

3

(3; )

3)

y

0

0

y

вогн.

т.п.

выпукл.

т.п.

вогн.

4) y 0 4 M1 0; 4 ,

y 3 77 M2 3; 77 .

;

0

3; ;

y выпукла на 0; 3 ; т.п.:

Ответ: y

вогнута

на

88

5. Найти асимптоты графика функции

y

x3

4

.

x2

Решение:

Решение проводим в соответствии с табл. 41.

Найдем вертикальные асимптоты графика функции:

1) D y ; 0

0; .

x3

4

Л

3x2

1) k lim

lim

1.

x x3

x 3x2

x3 4

x3

4 x3

4

1

2)b

lim

x

lim

lim

0 .

2

2

2

x

x

x x

x