Справочник по математике

Продолжение таблицы 14

Понятие

Формула, описание

10. Приведение об-

Для этого надо умножить все уравнение на нормирую-

щего уравнения к

щий множитель

1

, знак которого проти-

нормальному виду

A2 B2

воположен знаку свободного коэффициента

11. Отклонение точ-

d

x cos y sin p ,

от пря-

если d > 0, то

М

и О лежат по разные стороны от

ки M (x , y )

мой

прямой; если d

< 0, то М

и О лежат по одну сторо-

ну от прямой

12. Расстояние от

C

d

Ax

By

точки M (x , y ) до

A2 B2

прямой

Таблица 15

Взаимное расположение прямых на плоскости

Условие

Условие

Угол между прямыми

параллельности

перпендикулярности

1.

Прямые заданы общими уравнениями:

A x B y C 0, A x B y C 0

1

1

1

2

2

2

A1

B1

A1A2 B1B2 0

cos

A1A2 B1B2

A2

B2

A2

B2

B2

A2

1

1

2

2

2. Прямые заданы каноническими уравнениями:

x x1

y y1

,

x x2

y y2

m1

n1

m2

n2

m n

cos

m1m2 n1n2

1

1

m1m2 n1n2 0

m2

n2

m2

n2

n2

m2

1

1

2

2

3. Прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

y k1x b1,

y k2 x b2

k1 k2

k1

1

tg

k2 k1

k2

1 k1k2

Таблица 16

Кривые второго порядка

Кривая

Каноническое

Определение

Геометрическое

уравнение

изображение

1. Эллипс

x

2

y

2

1

Геометрическое место то-

чек плоскости, для которых

a2

b2

сумма расстояний до двух

фиксированных точек

плоскости F1 и F2 , на-

зываемых фокусами, есть

постоянная величина

а и b – большая и малая полуоси,

c2 a2 b2

– расстояние от центра до фокуса

2. Гипер-

x

2

y

2

1

Геометрическое место то-

бола

чек плоскости, для которых

a2

b2

разность расстояний до

двух фиксированных точек

плоскости F1 и F2 , на-

зываемых фокусами, есть

постоянная величина

x

2

y

2

1

Сопряженная гипербола

a2

b2

а и b – действительная и мнимая полуоси,

c2 a2 b2

–

расстояние от центра до фокуса,

прямые

y

b

x – асимптоты гиперболы

a

3. Пара-

y

2 2 px

Геометрическое место то-

бола

чек плоскости, для которых

расстояние до некоторой

фиксированной точки

плоскости F, называемой

фокусом, равно расстоянию

до некоторой фиксирован-

ной прямой D, называе-

мой директрисой

р = |FQ| –

фокальный параметр, расстояние от фокуса до ди-

ректрисы

Продолжение таблицы 16

Понятие

Эллипс

Гипербола

Парабола

1. Эксцен-

1

b2

1

1

b2

триситет

< 1,

> 1

a2

a2

c

для окружности 0

a

2. Дирек-

Прямая, расположен-

Прямая, расположен-

Прямая,

триса

ная перпендикулярно

ная перпендикулярно

располо-

большой оси на рас-

действительной оси на

женная

a

a

перпенди-

стоянии

от центра

расстоянии

от цен-

кулярно

тра

оси сим-

метрии на

расстоянии

p

от вер-

2

шины

Если r –

расстояние точки до фокуса, d – расстояние точ-

ки до директрисы, то

r

d

3. Поляр-

r

p

ное урав-

,

1 cos

нение кри-

вой второ-

где р –

расстояние от фокуса

го порядка

до директрисы, – эксцентри-

ситет

Таблица 17

Плоскость

Тип уравнения

Уравнение

Геометрический смысл

коэффициентов

1. Общее урав-

Ах + Ву + Сz + D = 0

п(А, В, С) – вектор

нение плоскости

нормали (т.е. перпен-

дикуляр) к плоскости

2. Плоскость,

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0

M0(x0, y0, z0) – точка

проходящая че-

на плоскости,

рез точку, пер-

п(А, В, С) – вектор

пендикулярно

нормали к плоскости

вектору

3. Уравнение

x y z

1

a, b и с – алгебраиче-

плоскости в от-

ские величины отрез-

a

b c

резках

ков, которые плоскость

отсекает на координат-

ных осях

4. Плоскость,

x x1

y y1

z z1

M1(x1, y1, z1) ,

проходящая че-

x

2

x

y

2

y

z

2

z

0

M 2 (x2 , y2 , z2 ) ,

рез три точки, не

1

1

1

x3 x1

y3 y1

z3 z1

M3(x3, y3, z3) – точки

лежащие на од-

на плоскости

ной прямой

5. Плоскость,

x x1

y y1

z z1

а(т, п, l) – вектор, па-

проходящая че-

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0

раллельный плоскости,

рез две точки,

M1(x1, y1, z1) и

m

n

l

параллельно век-

M 2 (x2 , y2 , z2 ) – точки

тору

на плоскости

6. Плоскость,

x x1

y y1

z z1

а1(m1, n1,l1) ,

проходящая че-

m

n

l

0

а2 (m2, n2,l2) – векторы,

рез точку, парал-

1

1

1

m2

n2

l2

параллельные пло-

лельно двум не-

скости, M1(x1, y1, z1) –

коллинеарным

точка на плоскости

векторам

7. Нормальное

x cos + y cos + cos – p = 0

cos , cos , cos – на-

уравнение плос-

правляющие косинусы

кости

нормали, р – рас-

стояние от начала ко-

ординат до плоскости

44

Продолжение таблицы 17

Понятие

Формула, описание

8. Приведение об-

Для этого надо умножить все уравнение на нормирую-

щего уравнения к

щий множитель

1

, знак которого

нормальному виду

A2 B2 C 2

противоположен знаку свободного коэффициента

9. Отклонение точки

d

cos p ,

x cos y cos z

от плос-

если

d > 0, то

М

и О лежат по разные стороны от

M (x , y , z )

кости

плоскости; если

d

< 0,

то М

и О лежат по одну

сторону от плоскости

10. Расстояние от

Cz

D

d

Ax

By

точки M (x , y , z )

A2 B2 C2

до плоскости

Условие

Условие

Угол между прямыми

параллельности

перпендикулярности

1. Прямые заданы каноническими уравнениями:

x x1

y y1

z z1

,

x x2

y y2

z z2

l1

m1

n1

l2

m2

n2

l

m

n

cos

l1l2 m1m2 n1n2

1

1

1

l

2

m

n

l1l2 m1m2

n1n2

0

l 2

m2

n2

l 2

m2

n2

2

2

1

1

1

2

2

2

2. Заданы плоскость и прямая:

Ax By Cz D 0,

x x0

y y0

z z0

l

m

n