Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Справочник по математике

.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

4.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

150

Решение. Разложим подынтегральную функцию f (x)																											1	в ряд


																										5 1 x5
по степеням х, воспользовавшись формулой
		(1 t)					1		t			( 1)		t	2	...		( 1)...( n)					t	n	...
		(1 t)					1		t				2!	t		...					n!		t		...
													2!								n!
при t x5 и						1		:
при t x5 и						5		:
						5
			1		1				1		5	3	10		11		15		44		20	924			25		...
										x			x				x			x				x
5									5			25		125					625			15625
	1		x	5
				5

Разложение справедливо в интервале ( 1,1] , который покрывает интервал

интегрирования, поэтому возможно интегрировать почленно полученный степенной ряд.

Интегрируем почленно полученный ряд:

0,9		dx			0,9			1		5		3	10			11		15		44				20	924			25
							1		x					x				x					x			x				... dx

	5 1 x5
0	5 1 x5				0			5				25				125				625					15625
		1		6			3	11				11			16				44			21			924				26			0,9
		1		6			3	11				11			16				44			21			924				26			0,9
= x			x					x							x						x						x				...	=
= x			x					x							x						x						x				...	=
		30				25 11					125		16				625 21							15625 26								0
																																0

	= 0,9	0,96			3	0,911			11		0,916		44		0,921		924	0,926	...
	= 0,9					0,911					0,916				0,921			0,926	...
		30		275				2000					13125				406250
	Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся,
a 0,9 a			1	0,96 a				3		0,911		a		11		0,916 ... и		lim a	0 , то
a 0,9 a				0,96 a						0,911		a				0,916 ... и		lim a	0 , то
1	2	30		3			275					4	2000					n n
справедливо неравенство							Rn	an 1.
	Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно взять че-
тыре члена ряда, так как
							R		44			0,921 0,001.


							3		13125
									13125

Производя вычисления, получаем

151

0,9			dx						1	0,96	3	0,911	11	0,916 0,974 .
			dx				0,9		1		3		11

	5								30		275		2000
	5	1		x		5			30		275		2000
0		1		x
	0,9				dx
Ответ.					dx			0,974 0,001.


				5 1
	0			5 1		x5

8. Для данной периодической функции построить ряд Фурье и изобразить график суммы ряда Фурье.

0,	2 x 0;
f (x)	0 x 2.
x,	0 x 2.

Решение. Ряд Фурье для заданной периодической функции с периодом T 2l 4 ищем в виде:

						a						n						n
			f (x)			0		an cos						x bn sin							x	.
			f (x)					an cos						x bn sin							x	.
						2	n 1					2						2
Вычисляем коэффициенты ряда по формулам:
				1	2				1	0				1	2				x2		2
				1	2				1	0				1	2				x2		2
		a0				f (x)dx					0dx				xdx							1;
		a0		2		f (x)dx			2		0dx			2	xdx			4				1;
				2	2				2	2				2	0			4			0
an	1	2				nx	dx		1	0			nx			dx	1	0			0		nx	dx
	1	2				nx			1	0			nx				1	0					nx
		f (x)cos									0cos									x cos
	2	f (x)cos				2			2		0cos			2			2			x cos			2
	2	2				2			2	2				2			2		2				2

u x,

= dv cos nx2

bn	1	2

	2
	2	2

du dx														1		2			nx				2
du dx																							2

		2					nx				=						xsin
		2					nx				=						xsin
dx, v				sin										2		n				2
dx, v				sin										2		n				2
			n					2															0
			n					2
		2							nx				2		2(( 1)n 1)
		2							nx				2		2(( 1)n 1)
						cos																;
	2n2					cos				2			0				2n2					;


		nx							1	0						nx		dx		1		0
f (x)sin					dx							0sin
f (x)sin		2			dx				2			0sin				2				2
		2							2	2						2				2	2

2	2	nx
	sin		dx

n 0		2

xsin 2nx dx

152

u x,

= dv sin nx2

Таким образом,

	du dx					1			2
						1			2
		2		nx	=
		2		nx	=
dx, v			cos			2			n
dx, v			cos			2			n
		n
		n		2
	2( 1)n 1			2			nx			2
	2( 1)n 1			2			nx			2
					sin
	n			2n2	sin			2		0

разложение заданной функции

	nx	2	2	2	nx

x cos				cos		dx

2			n 0		2
		0

2( 1)n 1 .n

f (x) ряд Фурье примет вид

2(( 1)n 1)

2( 1)n 1

f (x)

cos

sin

2n2

n 1

(2n 1)x

2(1)n 1

cos

sin

2 n 1

(2n 1)2

n 1

График суммы ряда Фурье для функции f (x) примет вид:


-6		-4		-2		0		2		4		6		x

Вариант № 2

n 1

ши

1. Исследовать на сходимость ряды, используя теоремы сравнения.

	4 2sin n
а)		,	б) n 1	cos		.
а)	n ln n	,	б) n 1	cos	n2	.
n 1	n ln n		n 1		n2

2. Исследовать на сходимость ряд, применяя признак Даламбера

n! . 3n 2

3. Исследовать на сходимость ряд, применяя радикальный признак Ко-


	n		n2

		.

n 1	2n 3

153

4. Исследовать на сходимость ряд, применяя интегральный признак

		1
Коши.		1		.


		2n 1 3 ln n
n 2		2n 1 3 ln n
								n	2		3
5.	Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд 1 n							n			3	.


						n 1				n5
						x 2 n
6.	Найти область сходимости степенного ряда						.
6.	Найти область сходимости степенного ряда					n 1 2n	.
					n 0	n 1 2n
			1
7.	Вычислить интеграл sin x2dx с точностью 0,001.
			0
Ответы.
1.	S 11; 2. а) ряд расходится; б) ряд сходится;					3. Ряд расходится
l ;	4.	Ряд сходится l 0 ; 5. Ряд расходится;			6. Область сходимости
степенного ряда 4;0			1
степенного ряда 4;0				; 7. sin x2dx 0,31.
			0

154

13. Кратные интегралы

Таблица 77

Двойные интегралы

Интеграл

Область интегрирования

Сведение к повторному

интегралу

1. Двойной ин-

y y2 ( x)

f (x, y)dxdy

теграл в декар-

товой системе

y2 (x)

координат

y y1 ( x)

f (x, y)dy

f (x, y)dxdy

y1(x)

O a

b x

a x b

y1(x) y y2(x)

f (x, y)dxdy

x x2(y)

x2 ( y)

x1( y)

f (x, y)dx

x1( y)

c y d

x1( y) x x2( y)

2. Двойной ин-

r r2 ( )

f (x, y)dxdy

теграл в поляр-

ной системе ко-

f (r cos , r sin )rdrd

ординат:

x r cos ,

r r1 ( )

y r sin

( )

f (r cos,r sin )rdr

r1( )

r1( ) r r2

( )

155

Таблица 78

Приложения двойных интегралов

Приложение

Формула

1. Объем V цилиндрического

f (x, y)dxdy

тела T:

z f (x, y) , z 0 ,

y y1(x) ,

y y2(x) ; x [a,b] ,

y2 (x)

f (x, y) 0

f (x, y)dxdy

z f (x, y)

y1(x)

y y2 (x)

2. Площадь S плоской фигуры

y (x)

D: y y1(x) ,

y y2(x) , x a ,

S dxdy dx

x b ;

y2(x) y1(x)

a y1(x)

y y2 ( x)

y y1 ( x)

3. Площадь гладкой поверх-

z 2

z 2 dxdy

ности z f (x, y) , проекция ко-

торой на Оху есть область D

4. Масса m плоской пластинки

m (x, y)dxdy

D с плотностью (x, y)

5. Координаты (x0, y0) центра

x(x, y)dxdy ,

масс плоской пластики D с

m D

плотностью (x, y)

y(x, y)dxdy

6. Моменты инерции

Ix , I y , IO

Ix y

плоской пластики D с плотно-

(x, y)dxdy , I y x

(x, y)dxdy ,

стью (x, y)

IO x2 y2 (x, y)dxdy

156

								Таблица 79
Тройные интегралы

Интеграл	Область интегриро-			Сведение к повторному
		вания				интегралу
1. Тройной инте-				f (x, y, z)dxdydz
грал в декарто-				f (x, y, z)dxdydz
грал в декарто-					T
вой системе ко-					T
вой системе ко-						z2 (x, y)
ординат						z2 (x, y)
ординат				dxdy				f (x, y, z)dz
f (x, y, z)dxdydz				dxdy				f (x, y, z)dz
f (x, y, z)dxdydz	Область Т ограничена			D		z1 x, y
T	Область Т ограничена			D		z1 x, y
T	снизу z z1(x, y) ,
	снизу z z1(x, y) ,			b	y2 (x)		z2	(x, y)
	сверху z z2(x, y) ,			dx			dy	f (x, y, z)dz
	по бокам прямым ци-			a	y1(x)		z1 x, y
2. Тройной инте-	линдром, проекция				f (x, y, z)dxdydz
грал в цилинд-	которого на Oxy есть				f (x, y, z)dxdydz
грал в цилинд-	которого на Oxy есть				T
рических коор-	область				T
рических коор-	область			f (r cos , r sin , z)rdrd dz
динатах:		a x b		f (r cos , r sin , z)rdrd dz
x r cos ,	D			T
y r sin ,	y1(x) y y2		(x)		z2	(r cos ,
z z						r sin )
z z				rdrd				f (r cos , r sin , z)dz
				rdrd				f (r cos , r sin , z)dz
				D	z1	(r cos ,
						r sin )

3. Тройной инте-				f (x, y, z)dxdydz
3. Тройной инте-
грал в сфериче-					T
ских координа-					T
ских координа-				f (r cos cos , r sin cos , r sin )
тах:				f (r cos cos , r sin cos , r sin )
x r cos cos ,				T
y r sin cos ,								r2 cos drd d
z r sin

	157
								Таблица 80
Приложения тройных интегралов

Приложение			Формула
1. Объем V области Т трех-	V dxdydz
1. Объем V области Т трех-
мерного пространства				T
				T

2. Масса m тела, занимающе-	m (x, y, z)dxdydz
2. Масса m тела, занимающе-
го область Т, с плотностью		T
(x, y, z)		T
(x, y, z)

3. Статические моменты тела,	M xy	(x, y, z)zdxdydz ,
3. Статические моменты тела,
занимающего область Т, с		T
плотностью (x, y, z) относи-		T
плотностью (x, y, z) относи-	M yz	(x, y, z)xdxdydz ,
тельно координатных плоско-	M yz	(x, y, z)xdxdydz ,
тельно координатных плоско-		T
стей		T
стей	M zx (x, y, z) ydxdydz
	M zx (x, y, z) ydxdydz
			T
4. Координаты (x0, y0, z0)			x M yz ,
центра тяжести тела, зани-			0			m
						m
мающего область Т, с плотно-			y			M zx	,
стью (x, y, z)						M zx

			0			m
						m
			z0			M xy
			z0			m
						m
5. Моменты инерции Ix , I y , Iz	Ix ( y	2	z	2	)(x, y, z)zdxdydz				,
тела, занимающего область Т,	Ix ( y		z		)(x, y, z)zdxdydz				,
тела, занимающего область Т,	T
с плотностью (x, y, z) отно-	I y (z2 x2 )(x, y, z)zdxdydz ,
сительно осей координат	T
	T
	Iz (x2 y2 )(x, y, z)zdxdydz
	T

158

Варианты самостоятельной работы по теме «Кратные интегралы»

Вариант № 1
1. Вычислить двойной интеграл по области						D , ограниченной указан-
ными линиями.
	y ln xdxdy,	D : y	1	, y	x, x 2 .
	D		x
	D
Решение. Изобразим область интегрирования D:
	y
3	y = 1/х
				x = 1
2						y = х1/2
1			D
			D
0	1			2		x
	1			2		x

Из рисунка видно, что 1x y x , а 1 x 2 , где левую границу для

																	1
переменной x нашли как точку пересечения																	1		и	x . Переходим от двойного
переменной x нашли как точку пересечения																	x		и	x . Переходим от двойного
																	x
интеграла к повторному по формуле:

														y2				x
		2						x		2								x		1		2					1
		2						x		2										1		2					1
y ln xdxdy ln xdx									ydy ln x										dx			ln x x							dx
y ln xdxdy ln xdx									ydy ln x					2					dx	2		ln x x				x2			dx
D		1				1				1				2	1/ x					2		1				x2
						x									1/ x
						x
					1
u ln x, dv x							2		dx			2									2			2 2
					x						1		x			1					2		1		x		1			dx
					x						1		x			1							1		x		1			dx
																			ln x
																			ln x
	dx		x	2	1						2		2			x							2		2			x		x
	dx		x		1						2		2			x					1		2	1	2			x		x
du		, v
du		, v
	x		2		x

159

								1			22						1										1				12															1 2 x								1
																			ln 2																				1 ln1																				dx
																			ln 2																				1 ln1																	2			dx
								2			2						2										2					2														2									x	2
								2			2						2										2					2														2		1	2						x
	5				1		x			2				1				2			5															1			2		2				1			1				2									5				5
																		2

																																																				1
			ln 2																					ln 2																														1								ln 2				.
			ln 2																					ln 2																														1								ln 2				.
	4				2			4						x							4															2			4 2									2				4									4				8
																		1
																		1
		Ответ.			y ln xdxdy															5		ln 2								5			.
		Ответ.			y ln xdxdy																	ln 2											.
					D														4										8
					D
		2. Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.

																			0										3 x2															dy
																									dx																			dy						.


																																								1 x2 y2
																							3						0											1 x2 y2
		Решение.										Область													интегрирования																										задается										неравенствами

															3 x2
	3 x 0,				0 y										3 x2										и представляет собой четверть окружности с

центром в начале координат и радиуса																																										3 , расположенной во втором октан-
те.
		Переходим к полярным координатам по формулам, тогда область ин-
тегрирования представится в виде																																0																	.
																																												3,
																																												3,			2
		Заданный двойной интеграл в полярных координатах примет вид

																																2																				3
	3												1						3				d (1														)		1																			1						1 d
	3																		3																										1 2
d							d									d																																					d										1 3


	0 1			2							2								0						1 2														2												0						2
	0 1			2							2								0						1 2														2												0						2
2														2																													2																	2
																	1										1																1
																	1										1																1
																			d															/ 2																				.
																	2										2																2				2						4	.


																			2

						0							3 x2												dy													.
		Ответ.							dx																dy


														0						1 x						2		y							2				4
						3																				2									2				4
						3

3. Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной указанными поверхностями.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.2016375.81 Кб27Социология_КР № 2-7.doc
#
29.03.201666.05 Кб16Социология_Лекция № 3.doc
#
13.08.20191.09 Mб84Сочинения_Рахман.doc
#
10.06.201525.26 Кб12СПН 11-20.docx
#
10.06.20151.4 Mб31Справочник для поступающих на 2015 год.pdf
#
10.06.20154.57 Mб207Справочник по математике.pdf
#
10.06.20151.16 Mб60справочник по физике.pdf
#
07.09.2019253.95 Кб8средние-студ.doc
#
10.06.2015253.27 Кб1302СТАНДАРТЫ.docx
#
07.09.2019221.7 Кб15Стат-наблюд-студ.doc
#
07.09.2019339.97 Кб4Статистика Гусаров.doc