Справочник по математике

собом: y x

4

.

x2

Ответ: y возрастает на ; 0

2; ;

y убывает на 0;

2 ;

ymin 2 3.

функции y x4 6x3 12x2 10 .

Ответ: y выпукла на ; 1

2; ; y

вогнута на 1;

2 ; т.п.:

M1 1; 3 и M2 2; 6 .

5. Найти асимптоты функции y

3x 2

.

x2

Ответ: x 0 – вертикальная асимптота;

y 0 – наклонная асимптота.

6. Найти предел, используя правило Лопиталя:

lim

cos2 x 1

.

e2x ex

x 0

Понятие

Выражение

Геометрическое

в координатах

изображение

1. Векторная функ-

r (t)

z

M

r r (t)

ция скалярного ар-

x(t)i y(t) j z(t)k ,

гумента

x(t) ,

y(t) , z(t) –

r r (t) ,

r (t)

координаты вектора r

t

– скаляр,

O

(скалярные функции)

y

r

– вектор

x

Линия – это годограф функ-

ции r r (t)

2. Производная век-

r (t)

z

M

торной функции

r (t)

скалярного аргу-

x (t)i y (t) j z (t)k

r (t)

мента

r

O

,

y

r (t) lim

t

t 0

x

r r (t t) r (t)

r (t) – вектор, касательный к

годографу функции r r (t) в

точке M , соответствующей

значению t

Задание кривой

Понятие

Формула

r (t) x(t)i

1.

Касательная к кривой в

x x t0

y y t0

z z t0

точке M0 , соответствую-

y(t) j z(t)k

x t0

y t0

z t0

щей значению t0

2.

Нормальная плоскость

x t0 x x t0

к кривой в точке M0 , со-

y t0 y y t0

ответствующей значению

t0

z t0 z z t0 0

Таблица 45

Параметрические уравнения линии

Линия

Параметрические

Изображение

уравнения

1. Плоская линия

x x(t),

y

M ( x, y)

y y(t),

t – параметр

O

x

2. Прямая на плоскости

x x0 mt,

y

M ( x, y)

x x 0

y y 0

y y0 nt

m

n

O

x

3. Окружность

x R cost,

y

t / 2

2

y

2

R

2

x

y R sin t

-R

O

R

t

3 / 2

x

4. Эллипс

x a cost,

y

b

x2

y2

1

a

y bsin t

a

2

b

2

O

x

5. Циклоида

x a(t sin t),

y

y a(1 cost),

O

0 t 2 – первая ар-

t 0

t 2

x

ка циклоиды

6. Астроида

3

x a cos

t,

y a sin3 t

7. Винтовая линия

x R cost,

z

y R sin t,

z kt

93

Таблица 46

Производная длины дуги кривой, кривизна кривой

Понятие

Уравнение

Формула для вычисления

кривой

1. Производной длины ду-

r r (t)

dl

ги кривой в точке М на-

dt

r (t)

зывается

x x(t),

dl

2

2

dl

lim

l

dt

[x (t)]

[ y (t)]

,

dx

x

y y(t)

x 0

где l – длина дуги кри-

y y(x)

dl

2

вой MM '

dx

1 [ y (x)]

x x(t),

dl

2

2

2

dt

[x (t)]

[ y (t)]

[z (t)]

y y(t),

z z(t)

2. Кривизна k

плоской

r r (t)

r

кривой в точке A – это

k r

r 3

число

x x(t),

k

k

x (t) y (t)

x (t) y (t)

lim

,

3

M A

y y(t)

2

2

l( AM )

[x (t)]

[ y (t)]

где – угол поворота ка-

y y(x)

сательного вектора на ду-

k

y (x)

3

ге AM , l( AM ) – длина

1

2

[ y (x)]

дуги AM

Прямая

k 0

Ax By C 0

Окружность

k 1/ R

x2 y2 R2

94

Таблица 47

Формы комплексного числа

Форма

Формула

Параметры

Чертеж

1. Алгебра-

z x iy

i – мнимая единица,

y

z

ическая

i2 1,

форма

x – действительная часть

r

числа,

y

y – мнимая часть числа,

x, y R

O

x

x

2. Тригоно-

z

r z

– модуль числа:

метрическая r(cos i sin )

r

x2 y2 ,

r 0 ;

Ox – действи-

форма

3. Показа-

i

=Arg z – аргумент чис-

тельная ось,

тельная

z r e

ла:

Oy – мнимая ось,

xOy – комплекс-

форма

y

ная плоскость

tg x , ,

y

,

x 0,

arctg

x

,

x 0, y 0,

2

2 ,

x 0, y 0,

y

,

x 0, y 0,

arctg

x

y

,

x 0, y 0;

arctg

x

x r cos ,

y r sin

Таблица 48

Значения тригонометрических функций

0о

30о

45о

60о

90о

180о

270о

sin x

0

1/ 2

2 / 2

3 / 2

1

0

1

cos x

1

3 / 2

2 / 2

1/ 2

0

1

0

tg x

0

3 / 3

1

3

0

ctg x

3

1

3 / 3

0

0

0

/ 6

/ 4

/ 3

/ 2

3 / 2

95

Таблица 49

Действия над комплексными числами

Формула

Действие

в алгебраической форме

в тригонометрической и по-

казательной форме

1. Сложение

z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2)

не определено

2. Вычитание

z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2)

не определено

3. Умножение

z1 z2

(x1x2 y1y2 )

z1 z2 r1r2[cos( 1 2 )

i(x1y2 y1x2 )

i sin( 1 2 )],

z z r r ei( 1 2 )

1 2

1 2

4. Деление

z1

x1 iy1

x2 iy2

z1 r1 [cos(

2

)

z2

x2 iy2

x2 iy2

z2

r2

1

x1x2 y1y2

i y1x2 x1y2

i sin( 1 2 )],

x22 y22

x22 y22

z1

r1

i( 1 2 )

z2

r2 e

5. Возведение в

zn (x iy)n

Формула Муавра:

степень

zn rn[cos(n ) i sin(n )] ,

zn rnein ,

n – целое число

6. Извлечение

n

z

n

x iy

2k

корня

n z n r cos

n

isin

2k

,

n

i 2k

n z n re

n

,

k 0,1,2,

,n 1,

n – натуральное число

Примечание. z x iy rei ,

z x

iy r ei 1

,

z

x

iy

2

r ei 2 .

1

1

1

1

2

2

2

1. Найти z z

2

,

z

z

2

, z

z

2

,

z1

в алгебраической форме для чисел

1

1

1

z2

z1 2 3i , z2 1 4i .

Решение:

Используя табл. 49, получим:

z1 z2 (2 3i) ( 1 4i) (2 1) i( 3 4) 1 i ,

z1 z2 (2 3i) ( 1 4i) (2 1) i( 3 4) 3 7i ,

z

z

2

(2 3i) ( 1 4i) 2 3i 8i 12i2 ( 2 12) i(3 8) 10 11i ,

1

z

(2 3i)( 1 4i)

2 3i 8i 12i2

( 2 12) i(3 8)

14

5

1

i

.

z2

( 1 4i)( 1 4i)

( 1)2 42

17

17

17

2. Перевести числа z1

3 i , z2

2i

в показательную форму и вы-

полнить действия z

z

2

,

z1

в показательной форме.

1

z2