Справочник по математике

Таблица 2

Свойства определителей

Свойство

Пример

1. Определитель не меняется при

4

6

2

4

5

12

транспонировании матрицы

5

9

7

6

9

1

12

1

5

2

7

5

2. Если матрица содержит строку

4

0

2

(столбец), состоящую из нулей, то ее

5

0

7

0

определитель равен нулю

12

0

5

3. Если в матрице поменять местами

2

6

5

9

4

1

какие-нибудь две строки (два столб-

9

4

1

2

6

5

ца), то ее определитель изменит знак

3

25

9

3

25

9

4. Если в матрице есть две одинако-

4

6

4

вые строки (столбца), то ее определи-

5

9

5

0

тель равен нулю

12

1

12

5. При умножении строки (столбца)

4

6

2

2

3

1

матрицы на число, ее определитель

5

9

7

2

5

9

7

умножается на это число

12

1 5

12

1

5

6. Определитель матрицы не изменит-

4

6

2

4

6

2

ся, если к какой-нибудь ее строке

5

9

7

5

9

7

(столбцу) прибавить другую строку

12

1

5

0

19

11

(столбец), умноженную на неравное

Первую строку умножили на –3 и

нулю число

прибавили к третьей строке

Таблица 3

Матрицы

Понятие

Обозначение и определение

Замечания

1. Матрица

a

a

a

m n – размерность

11

12

1n

матрицы,

A

a21

a22

a2n

,

m – количество строк,

. . . . . . . . .

. . .

n – количество

am2

am1

amn

столбцов

aij

– элементы матрицы, i – номер стро-

ки,

j – номер столбца,

a11, a22, … , ann – главная диагональ

2. Квадрат-

a

a

a

m = n,

ная матрица

11

12

1n

п – порядок матрицы

A

a21

a22

a2n

. . . . . . . . .

. . .

an1

an2

ann

3. Единич-

1

0

0

Определена только

ная матрица

для квадратных мат-

0

1

0

риц

Е =

0

0

1

4. Транспо-

a

a

a

Каждая строка

нированная

11

21

m1

является столбцом

матрица

T

a12

a22

am2

матрицы А с тем же

A . . . . . . . .

. . . .

номером

a2n

a1n

amn

5. Сумма

С = А + В,

Определена для мат-

матриц

cij

aij

bij ,

риц одинаковой раз-

где i = 1, 2, …, n,

j = 1, 2, …, m

мерности

6. Произве-

С = А,

дение мат-

cij

aij ,

рицы на

где i = 1, 2, …, n,

j = 1, 2, …, m

число

7. Произве-

С = АВ,

Справедливы сле-

дение мат-

n

дующие свойства:

риц

cij

aisbsj

ai1b1 j ai2b2 j

ainbnj ,

1) АВ ВА,

s 1

2) А(ВС) = (АВ)С,

где i = 1, 2, …, m,

j = 1, 2, …, p,

3) А(В+С) = АВ+АС,

А размера m n,

В размера

n p

4) ( AB)T BT AT

Продолжение таблицы 3

Понятие

Обозначение и определение

Замечания

8. Минор

Минором М матрицы А называется оп-

Говорят, что минор

матрицы

ределитель матрицы, состоящей из эле-

М расположен в вы-

ментов, расположенных на пересечении

бранных строках и

выбранных строк и столбцов

столбцах

9. Окаймля-

Окаймляющим минором минора М на-

Окаймляющий минор

ющий минор

зывается минор N,

полученный добав-

N содержит в себе

лением к минору М еще одной строки и

все элементы минора

еще одного столбца из матрицы А

М

10. Базис-

Минор матрицы называется базисным,

Столбцы и строки

ный минор

если он не равен нулю, а окаймляющие

матрицы А, пересе-

его миноры либо все равны нулю, либо

кающие базисный

отсутствуют вовсе

минор, называются

базисными

11. Ранг

rang A = r,

матрицы

рангом называется порядок базисного

минора матрицы А

12. Теорема

Столбцы матрицы, пересекающие базис-

о базисном

ный минор, линейно независимы. Любой

миноре

столбец, не входящий в базисный минор,

Обе теоремы могут

линейно выражается через базисные

быть сформулирова-

столбцы

ны и для строк

13. Теорема

Ранг произвольной матрицы А равен

о ранге

максимальному числу ее линейно неза-

висимых столбцов

14. Вычис-

1) Метод окаймляющих миноров:

ление ранга

необходимо вычислять миноры матрицы, переходя от миноров

матрицы

меньших порядков к минорам больших порядков, причем, если

найден минор

D k-го порядка, отличный от нуля, то требуется

вычислять лишь миноры (k + 1)-го порядка, окаймляющие ми-

нор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

2) Метод элементарных преобразований:

необходимо привести матрицу к виду

a

a

a

a

11

12

1r

1m

0

a22

a2r

a2m

. . . . .

. . . . . . . . . . .

тогда rang A = r

A

,

0

0

arr

arm

0

0

. . . . . . . .

0

0

0

. . . . . . . .

0

Окончание таблицы 3

Понятие

Обозначение и определение

Замечания

15. Элемен-

1) Перестановка двух строк или двух

Если одна из матриц

тарные пре-

столбцов,

получается из другой

образования

2) умножение строки или столбца на от-

элементарными пре-

матрицы

личное от нуля число,

образованиями, то

3) прибавление к одной строке или

они называются экви-

столбцу другой строки или столбца

валентными: A B

16. Обратная

Матрица A

1

называется обратной для

Обратная матрица

матрица

существует только

матрицы А,

если A 1A = AA 1 =Е

для квадратной мат-

рицы с определите-

лем, отличным от ну-

ля

17. Вычис-

V

ление обрат-

1) По формуле:

A 1

A

, где

det A

ной матрицы

A

A

11

n1

AV . . . . .

. . .

– присоединенная матрица, состоящая из

A

A

1n

nn

алгебраических дополнений A ( 1)i j M

ij

, а M

ij

– опреде-

ij

литель матрицы, полученной из А вычеркиванием i-й строки

и j-го столбца.

Заметим, что алгебраическое дополнение Aij

стоит на месте (ji).

2) Метод элементарных преобразований:

к данной матрице А справа приписывается единичная матрица

такого же порядка. Затем над строками полученной прямо-

угольной матрицы производятся элементарные преобразования

такие, чтобы на месте матрицы А получилась единичная мат-

рица. При этом на месте единичной матрицы получится матри-

ца, которая будет обратной к матрице А

Таблица 4

Системы линейных уравнений

Понятие

Определение и описание

Замечания

1. Система

a

x

a

x

a

x

b ,

Матричная за-

линейных

11 1

12

2

1n

n

1

пись системы:

уравнений

a21x1 a22x2

a2nxn b2,

АХ = В

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

x a

x

a

x b ,

m1 1

m2

2

mn n

m

a

a

a

11

12

1n

a

21

a

22

a

2n

А

– матрица системы,

. . . . . . . . . . . .

am2 amn

am1

B b ,b

,...,b T – столбец свободных чле-

1 2

m

нов,

X x , x ,..., x

T

– столбец неизвестных

1

2

n

2. Совмест-

Система, имеющая решения, называется со-

Система может

ность систе-

вместной.

иметь единст-

мы

Система, не имеющая решения, называется не-

венное реше-

совместной

ние или беско-

нечно много

решений

3. Метод

a11x1 a12x2 a1n xn b1,

Подходит толь-

Крамера

a2n xn b2,

ко для систем,

Система

a21x1 a22x2

у которых ко-

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

личество пере-

a

x

a

x

a

x

b

менных и урав-

n1 1

n2

2

nn

n

n

нений совпада-

имеет единственное решение, если det A 0.

Это решение находится по формулам:

ет

x 1

, x

2

2

, , x

n

n ,

1

где = det A, а

k

–

определитель матрицы,

полученной из матрицы системы заменой k-го

столбца столбцом свободных членов

4. Расши-

Получается из А приписыванием столбца сво-

Верно неравен-

ренная мат-

бодных членов:

ство:

рица

a11

a1n

b1

rang A rang A

A

. . . .

. . .

amn

am1

bm

Продолжение таблицы 4

Понятие

Определение и описание

Замечания

5. Теорема

Система линейных уравнений совместна тогда и

Кронекера-

только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу

Капелли

расширенной матрицы

A

6. Система

a

x

a

x

0,

Всегда совме-

линейных

11 1

1n n

стна, так как

однород-

a21x1

a2nxn 0,

или

АХ = 0

всегда имеет

ных урав-

. . . . . .

. . . . . . .

нулевое ре-

нений

a

x

a

x 0,

шение

m1 1

mn n

7. Схема

1) Найти ранг матрицы системы (rang А = r) и ка-

Коэффициен-

решения

кой-нибудь базисный минор,

ты при базис-

системы

2) оставить в системе r линейно независимых

ных перемен-

линейных

уравнений,

ных должны

однород-

3) выбрать базисные и свободные переменные,

составлять ба-

ных урав-

4) придавая свободным переменным по очереди

зисный минор

нений

значения: (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0), … , (0, 0,…, 1),

найти соответствующие значения базисных пере-

менных,

5) записать фундаментальную систему решений

C

C

C

11

12

1,n r

Cr1

Cr2

Cr,n

r

X1

1

, X 2

0

, , X n r

0

0

1

0

0

0

1

6) записать общее решение системы

X C1X1 C2 X 2 Cn r X n r

8. Схема

= rang A,

Если rang A

решения

1) Проверить равенство rang A

2) составить приведенную систему, взяв В = 0, и

системы

rang A , то

найти ее общее решение,

система ре-

линейных

3) найти частное решение X 0 исходной системы,

шений не

неоднород-

придав всем свободным переменным нулевые

имеет

ных урав-

значения,

нений

4) составить общее решение системы

X X0 C1X1 C2 X 2 Cn r X n r

Понятие

Определение и описание

Замечания

9. Метод

1) Расширенную матрицу

A

путем элементар-

Универсаль-

Гаусса

ных преобразований привести к ступенчатой

ный метод

решения сис-

форме, когда все элементы ниже главной диаго-

нали обращены в нуль:

тем линейных

уравнений с

...

a11

a12

a13

a1r ...

b1

произволь-

0

a22

a23

...

a2r ...

b2

ным количе-

0

0

...

ством уравне-

a33

a3r ...

b3

... ... ... ... ... ...

...

,

ний и неиз-

A

вестных

0

0

0

...

arr ...

br

0

0

0

0

0 ...

0

0

0

0

0

0 ...

0

цы определяет уравнение:

annxn bn ; и решая

решение системы:

(х1, х2 , х3 , . . . , хn );

5) если r < n, то нижняя ненулевая строка дает

уравнение с несколькими неизвестными:

1xr 1

arr xr ar,r

arnxn br ; назовем

xr 1, , xn

свободными переменными и выразим

через них сначала xr , а затем остальные пере-

менные

x1, , xr 1; так получим бесконечно мно-

го решений системы

Таблица 5

Линейные пространства и линейные операторы

Понятие

Определение, формула

Замечания

1. Линейное

Множество L элементов любой природы

Элементы линей-

пространст-

для которых определены

ного пространства

во

1) операция сложения элементов, удовле-

принято называть

творяющая аксиомам коммутативности и

векторами

ассоциативности;

2) операция умножения на число, удовле-

творяющая аксиомам ассоциативности и

дистрибутивности относительно чисел и

элементов пространства

2. Линейная

Вектор

y

называется линейной комбина-

Говорят также,

комбинация

цией векторов x1,

, xs ,

если существуют

что y

линейно

векторов

такие числа

1, s , что

выражается че-

рез x1,

, xs

y 1x1 2x2

s xs

3. Линейно

Векторы

x1,

, xs

линейно зависимы, если

Система линейно

зависимая

существуют числа

1, s , не равные ну-

зависима тогда и

система

только тогда, ко-

лю одновременно, такие, что

гда один из векто-

1x1 2x2

s xs 0

ров линейно вы-

ражается через ос-

тальные векторы

4. Линейно

Векторы x1,

, xs

линейно независимы, ес-

Ранг матрицы, со-

независимая

ли равенство x

x

x

0

ставленной из ко-

система

1 1

2 2

s s

ординат линейно

возможно только в том случае, когда

независимых век-

1 2 s 0

торов равен коли-

честву векторов

5. Макси-

Линейно независимая система векторов на-

мальная ли-

зывается максимальной, если добавление к

нейно неза-

ней любого вектора делает ее линейно зави-

висимая

симой

система

6. Базис

Любая максимальная линейно независимая

Количество векто-

пространст-

система векторов называется базисом.

ров в базисе назы-

ва

Любой вектор пространства линейно выра-

вается размерно-

жается через векторы базиса:

стью пространст-

x 1e1

nen , столбец 1,

T

ва

, n

называется координатным столбцом векто-

ра х

Понятие

Определение, формула

Замечания

7. Матрица пере-

Если е и е - два базиса, то матрица S ,

Связь между бази-

хода от базиса е

состоящая из координатных столбцов

сами:

к е

векторов е в базисе е, называется мат-

eS = e

рицей перехода от е

к е

8. Преобразова-

Если x и х′ – координатные столбцы

S – матрица пере-

ние координат

вектора х в базисах е и е ,

то

хода

при преобразо-

x' S 1x

вании базиса

9. Линейный

Отображение А: L L,

для которого

Линейный опера-

оператор

справедливо: 1) А(х1 х2 ) Ах1 Ах2 ,

тор еще называют