Справочник по математике

Понятие

Определение, формула, метод

1. Дифференци-

Уравнение вида

(n)

) 0 или

альное уравнение

F(x, y, y , y , y ,...,y

(n)

(n 1)

n-го порядка

y

) ,

где (n) означает поря-

f (x, y, y , y , y ,...,y

записанное в па-

x x(t, c1, c2,...,cn ) , y y(t, c1, c2,...,cn )

раметрической

форме

5. Частное реше-

Решение, удовлетворяющее заданным начальным услови-

ние дифференци-

(n 1)

(n 1)

ального уравнения

ям y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0

,...,y

(x0 ) y0

.

Чтобы найти частное решение, надо:

1) вычислить производные по переменной x до (n 1) -го

порядка у общего решения y y(x, c1, c2,...,cn ) ,

2) подставить в полученные выражения вместо

(n 1)

числа x0

(n 1)

,

x, y, y ,...,y

, y0 , y0 ,...,y0

общего решения

6. Теорема о су-

(n 1)

)

непрерывна и

ществовании и

Если функция f (x, y, y , y , y ,...,y

имеет в области

D

изменения своих аргументов непре-

единственности

f

f

f

решения задачи

рывные частные производные y

, y ,..., y(n 1) , то в

Коши

(n 1)

) D

,...,y0

некоторой окрестности точки (x0, y0, y0

, y0

существует единственное решение уравнения

y

(n)

(n 1)

) , удовлетворяющее за-

f (x, y, y , y , y ,...,y

данным начальным условиям

(n 1)

(n 1)

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0

,...,y

(x0 ) y0

Уравнение

Задание

Метод

1. Уравне-

Общее решение находится путем

ние, содер-

y

(n)

f (x)

n кратного интегрирования:

жащее пе-

n 1

y dx dx...

f (x)dx c1x

ременную

x и произ-

c2x

n 2

... cn 1x cn

водную y(n)

Частный случай:

y dx( f (x)dx) c1x c2

y

f (x)

2. Уравне-

F(x, y(k) , y(k 1) ,...,y(n) ) 0 ,

Замена

y

(k)

z(x) понижает по-

ние, не со-

держащее

рядок уравнения на k единиц:

(1 k n)

(n k)

) 0 . Проин-

функцию y

F(x, z, z ,...,z

и производ-

тегрировав, найдем общее реше-

ние z q(x, c1, c2,...,cn k ) ,

ные до

(k 1) го

отсюда y

(k)

q(x, c1, c2,...,cn k )

порядка

3. Уравне-

F( y, y , y , y ,...,y(n) )

Порядок уравнения понижает-

ние, не со-

0

ся на 1 заменой y p( y) , отсю-

держащее

да, в частности,

y

dp

p ,

переменную

dy

x

2

p

dp

2

y

d

p

p

dy2

dy

4. Уравне-

(n)

)

0

Порядок уравнения понижается

ние, одно-

F(x, y, y , y , y ,...,y

на 1 с помощью подстановки

где

родное от-

y yz(x) , отсюда, в частности,

(n)

)

носительно

F(x,ty,ty ,ty ,ty

,...,ty

y

y(z

2

,

y и ее про-

t

k

(n)

z )

)

F(x, y, y , y , y

,..., y

y

y(z

3

3zz

изводных

z )

5. Уравне-

(n)

)

0,

Проинтегрировав, получим

ние в точ-

F(x, y, y , y , y ,...,y

уравнение, порядок которого

равносильно уравнению

ных произ-

будет ниже на единицу:

d

(n 1)

водных

) 0

dx R(x, y, y , y , y ,...,y

(n 1)

)

c1

R(x, y, y , y , y ,...,y

Понятие

Определение, формула, метод

1. Линейные диф-

1) Неоднородное уравнение:

ференциальные

y

(n)

a1(x) y

(n 1)

a2(x) y

(n 2)

... an(x) y f (x) ,

уравнения n-го по-

2) однородное уравнение:

рядка

y(n) a (x) y(n 1)

a

(x) y(n 2)

... a (x) y 0 ,

1

2

n

a1(x),a2 (x),...,an (x) произвольные функции

2. Линейно незави-

y1, y2 ,...yn линейно независимые частные решения, ес-

симые решения

ли равенство b1y1 b2 y2 ... bn yn 0 справедливо, ко-

гда все числа b1, b2,...,bn равны нулю

3. Условие линей-

Для того чтобы решения y1, y2,...yn были линейно не-

ной независимости

зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы был

решений

отличен от нуля определитель Вронского:

y1

y2

...

yn

...

W (x)

y1

y2

yn

0

....

...

...

...

y1(n 1)

y2(n 1) ...

yn(n 1)

4. Общее решение

y c1y1 c2 y2 ... cn yn ,

линейного одно-

где y1, y2 ,...yn линейно независимые частные решения

родного уравнения

линейного однородного уравнения n-го порядка

5. Общее решение

y(x) y0 (x) y(x) , где y0 (x) общее решение соответ-

линейного неодно-

ствующего однородного уравнения,

y(x) любое част-

родного уравнения

ное решение неоднородного уравнения

Метод вариации произвольных постоянных:

1) найти общее решение соответствующего однородного

уравнения y c1y1 c2 y2 ... cn yn ,

2) общее решение неоднородного уравнения запишется в

виде:

y c1(x) y1 c2 (x) y2 ... cn (x) yn ,

где функции

c1(x),c2 (x),...,cn (x) находятся из системы уравнений:

(x) y2

(x) yn 0,

c1(x) y1

c2

... cn

0,

c1(x) y1

c2

(x) y2

... cn

(x) yn

............................................................................

(n 1)

(n 1)

(n 1)

f (x)

c1(x) y1

c2 (x) y2

... cn (x) yn

Понятие

Определение, формула, метод

1. Линейное одно-

y

(n)

a1y

(n 1)

a2 y

(n 2)

... an y 0 ,

родное уравнение

где

a ,a

2

,...,a

n

вещественные постоянные числа.

n-го порядка с по-

1

Линейное однородное уравнение 2-го порядка:

стоянными коэф-

y a1y a2 y 0

фициентами

2. Общее решение

y c1y1 c2 y2 ... cn yn ,

линейного одно-

где y1, y2 ,...yn – линейно независимые частные решения,

родного уравнения

которые находятся с помощью метода Эйлера: для этого

n-го порядка с по-

составляется и решается характеристическое уравнение

стоянными коэф-

k n a k n 1 ... a

k a

0 ,

фициентами

1

n 1

n

1) корни

k1, k2,...,kn вещественные, не равные друг

другу числа, тогда им соответствуют частные решения:

y

ek1x ,...,

y

n

ekn x ,

1

2) среди корней

k1,k2,...,kn есть комплексно сопряжен-

ные, тогда каждой паре

k p iq соответствуют два ча-

стных решения:

y

e px cos qx ,

y

e px sin qx ,

1

2

3) среди корней

k1,k2,...,kn некоторые совпадают, т.е.

k1 k2 ... ks k , тогда корню k кратности s соответ-

ствует s

частных решений:

y

ekx, y

2

xekx, y

x2ekx,...,y

s

xs 1ekx ,

1

3

4) среди корней

k1, k2,...,kn есть s равных комплексно

сопряженных пар p iq , имеем 2s частных решений:

e px cos qx, xe px cos qx, x2e px cos qx, ..., xs 1e px cos qx ,

e px sin qx, xe px sin qx, x2e px sin qx, ..., xs 1e px sin qx

3. Общее решение

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

линейного одно-

k 2 a k a

2

0

. Пусть k , k

2

его корни.

родного уравнения

1

1

k

вещественные, тогда y

ek1x , y

ek2 x ,

2-го порядка с по-

1) k

2

2

1

1

стоянными коэф-

2) k

p iq , тогда

y

e px cos qx,

y e px sin qx ,

фициентами

1,2

1

2

3) k

k

2

k , тогда

y

ekx ,

y

2

xekx .

1

1

Записываем общее решение: y c1y1 c2 y2

Понятие

Определение, формула, метод

1. Линейное

y

(n)

a1y

(n 1)

a2 y

(n 2)

... an y f (x) ,

неоднородное

где a1,a2 ,...,an вещественные постоянные числа.

уравнение n-го

Линейное неоднородное уравнение 2-го порядка:

порядка с по-

y a1y a2 y f (x)

стоянными ко-

эффициентами

2. Общее реше-

y(x) y0 (x) y(x) ,

ние линейного

где y0 (x) общее решения соответствующего однородного

неоднородного

уравнения, y(x) любое частное решение неоднородного

уравнения n-го

уравнения, которое можно искать следующим образом.

порядка с по-

1) Если f (x) eax P(x) и число a не является корнем харак-

стоянными ко-

эффициентами

теристического уравнения, то y eaxQ(x) , где Q(x) поли-

ном той же степени, что и P(x) . Для нахождения коэффи-

циентов полинома Q(x) надо подставить y в линейное не-

однородное уравнение, в полученном равенстве приравнять

коэффициенты при одинаковых степенях x , стоящих в пра-

вой и левой частях. Получится система алгебраических

уравнений на неизвестные коэффициенты. Решив ее, найдем

коэффициенты Q(x) . Если a является корнем характери-

стического уравнения кратности s , тогда частное решение

ищем в виде y xseaxQ(x) .

2) Если f (x) eax ( A(x) cosbx B(x) sin bx) , где A(x) и B(x)

1.

6xdx 6 ydy 2x2 ydy 3xy2dx .

Решение:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Сделаем преобразо-

вание: 3x(2 y2 )dx 2 y(x2 3)dy .

Разделим переменные

3xdx

2 ydy

и

y2 2

x2 3

интегрируем

3xdx

2 ydy

c ,

отсюда

3

d (x2 3)

d ( y2 2)

c ,

x2 3

y2

2

2

x2 3

y

2

2

3

ln( x2 3) ln( y2 2) ln c

или общий интеграл:

(x2 3)3

c .

2

1

( y2 2)2