Справочник по математике

110

Таблица 56

Несобственные интегралы

Понятие

Определение, формула

1. Несобственный инте-

грал первого рода:

b

а) f (x)dx ;

а)

f (x)dx

lim f (x)dx lim F (b) F (a) ;

a

a

b a

b

b

b

b

б) f (x)dx ;

б)

f (x)dx lim

f (x)dx F (b)

lim F (a) ;

a a

a

c

в) f (x)dx

в)

f (x)dx f (x)dx f (x)dx ,

c

или (в смысле главного значения)

t

f (x)dx lim

f (x)dx .

t

t

Несобственный интеграл сходится, если соот-

ветствующий предел существует и равен конеч-

ному числу, и расходится в противном случае

2. Несобственный инте-

грал второго рода:

b

b

b

а) f (x)dx , функция

а)

f (x)dx

lim

f (x)dx F (b)

lim F (t) ;

a

a

t a 0

t

t a 0

y f (x) имеет разрыв в

точке а;

b

b

t

б) f (x)dx , функция

б)

f (x)dx

lim

f (x)dx lim

F (t) F (a) ;

a

a

t b 0

a

t b 0

y f (x) имеет разрыв в

точке b;

b

b

c

b

в) f (x)dx , функция

в)

f (x)dx

f (x)dx f (x)dx .

a

a

a

c

y f (x) имеет разрыв в

точке c (a,b)

Несобственный интеграл сходится, если соот-

ветствующий предел существует и равен конеч-

ному числу, и расходится в противном случае

Продолжение таблицы 56

Понятие

Определение, формула

3. Признак сравнения

Пусть 0 f (x) g(x) на [a,b) , тогда

сходимости несобствен-

b

b

ных интегралов

а) если g(x)dx сходится, то f (x)dx так же

a

a

сходится,

b

b

б) если f (x)dx расходится, то g(x)dx также

a

a

расходится.

Признак справедлив для несобственных инте-

гралов первого и второго рода

4. Предельный признак

Пусть f (x) 0 и g(x) 0 и существует конеч-

сравнения сходимости не-

ный и отличный от нуля предел lim

f (x)

(или,

собственных интегралов

x b g(x)

b

в частности,

f (x) ~ g(x) ), то ряды f (x)dx и

a

b

g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

a

Признак справедлив для несобственных инте-

гралов первого и второго рода

112

Таблица 57

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Приложение

Данные задачи

Чертеж, формула

1. Вычисле-

а) Криволинейная трапеция:

а)

y

y y(x)

ние площа-

дей плоских

фигур

O a

b

x

1) y y(x) , y 0 , x a , x b ,

b

y(x) 0 , b a ;

1) S y(x)dx ;

a

2) x x(t),

x a t ,

y y(t),

x b t

2) S y(t)x (t)dt

б) Фигура: y y1(x) ,

y y2(x) ,

б)

y y y2 (x)

x a , x b ,

y2(x) y1(x) , b a

a

b

O

y y1(x)

x

b

S y2 (x) y1(x) dx

a

в) Криволинейный сектор:

в)

r r( )

r r( ) , , ,

O

1

S

r2

( )d

2

г) Фигура: r r ( ) ,

r r ( ) ,

г)

1

2

, , r ( ) r ( ) ,

r r1( )

r r2 ( )

2

1

O

1

S

[r22

( ) r12( )]d

2

113

Продолжение таблицы 57

Приложение

Данные задачи

Чертеж, формула

2. Вычисление

Уравнение линии:

b

2

длины l дуги

а)

y y(x) ,

a x b

а) l

1 [ y (x)] dx

плоской линии

a

x x(t),

t1 t t2

t2

б)

б) l

2

2

y y(t),

[x (t)]

[ y (t)] dt

t1

в) r r( ) ,

t2

2

2

в) l

r

( )

[r ( )] d

t1

3. Вычисление

S(x) , x [a,b] – площадь по-

y

S(x)

объема V тела с

перечного сечения

переменной

O

площадью по-

z

a

x

b

x

перечного сече-

b

ния

V S (x)dx

a

4. Вычисление

Криволинейная трапеция:

объема V тела

а)

y y(x) ,

y 0 , x a ,

а)

вращения

x b ; y(x) 0 вращается во-

y

y y(x)

круг оси Ox

O

z

a

b

x

b

Vx y2 (x)dx

a

б) x x( y) ,

x 0 , y c ,

d

y d ; x( y) 0 вращается во-

б) Vy x2 ( y)dy

круг оси Oу

c

5. Вычисление

Дуга кривой y y(x) от x a

b

2

площади по-

до x b вращается вокруг оси

Sx 2 y(x)

1

dx

y (x)

верхности S тела

Ox

a

вращения

6. Отыскание

v v(t) – скорость движения,

t2

пути L , прой-

t [t1,t2] – интервал времени,

L v(t)dt

денного с пере-

t

t

t1

менной скоро-

2

1

стью

Продолжение таблицы 57

Приложение

Данные задачи

Чертеж, формула

7. Нахождение

(x) – линейная плотность

b

массы m стер-

стержня,

m (x)dx

жня с перемен-

x a , x b – координаты на-

a

ной плотностью

чала и конца стержня, b a

8. Нахождение

Уравнение кривой y y(x) ,

b

2

массы m пло-

a x b , (x) – линейная

m (x)

1

dx

y (x)

ской кривой

плотность

a

9. Нахождение

Уравнение кривой y y(x) ,

b

2

координат xc , yc

a x b

x

1

dx

y (x)

центра тяжести

x

a

,

плоской кривой

c

b

2

постоянной

1

dx

y (x)

плотности

a

b

2

y(x) 1

dx

y (x)

y

a

c

b

2

dx

1 y (x)

a