Справочник по математике

Понятие

Обозначение

Определение

Геометрическое

изображение

1. Число-

yn f n ,

Функция, определен-

вая после-

n N

ная на множестве N

дователь-

ность

2. Предел

lim

y

a

0 N

n N

числовой

n

n

yn a

последова-

тельности

3. Беско-

y x –

0 M x

нечно ма-

б.м.ф. при

x

M

x

лая функ-

x ,

ция на бес-

lim x 0

конечности

x

lim

x 0

x M

x

x

lim

x 0

x M

x

x

4. Беско-

y f x –

A 0 M x

нечно

б.б.ф. при

x

M

f x

A

большая

x ,

функция на

lim

f x

бесконеч-

x

ности

lim

f

x

x M f (x) A

x

lim

f

x

x M f (x) A

x

lim

f

x

x M f (x) A

x

lim

f

x

x M f (x) A

x

5. Предел

lim

f x b

0 M x

функции

x

x

M

на беско-

f x b

нечности

Таблица 29

Поведение функции в точке

Понятие

Обозначение

Определение

Геометрическое

изображение

1. Окрест-

1) a 0,U0 x :

x

r ,

ность точки

2) a 0 ,Ua x :

x a

r

a радиуса r

2. Проколо-

U 0

Окрестность точки

тая окрест-

a

a , из которой уда-

a r, a

ность точки

лена сама точка a

a

a, a r

3. Бесконеч-

y x –

0

0

но малая

б.м.ф. при

0 Ua

x Ua

x

функция в

x a ,

точке a

lim x 0

x a

4. Бесконеч-

y f x –

A

0

0

но большая

б.б.ф. при

0 Ua

x Ua

f x

A

функция в

x a ,

точке a

lim

f x

x a

5. Предел

lim

f x b

0

0

функции

x a

0 Ua

x Ua

f x b

y f x в

точке a

6. Односто-

ронние пре-

делы:

f a 0

f x

а) левосто-

lim

ронний пре-

x a 0

дел;

x a

f a 0 b

б) правосто-

f a 0

lim

f x

ронний пре-

x a 0

дел

x a

f a 0 b

Таблица 30

Теоремы о пределах

Понятие, теорема

Формула, формулировка

1.

Б.м.ф. x имеет более высо-

lim

x

0

кий порядок малости, чем б.м.ф.

x

x

2.

Б.м.ф. x и x имеют оди-

lim

x

C 0

, C const

наковый порядок малости

x

3.

x и x – эквивалентные

lim

x

1

б.м.ф., (x) (x)

x

4.

Существование предела моно-

Если последовательность монотонно

тонной ограниченной последова-

убывает (возрастает) и ограничена снизу

тельности

(сверху) то она имеет предел

5.

Единственность предела

Если предел существует, то он единстве-

нен

6.

Связь функции с её пределом

lim f x b f x b x ,

где x

– б.м.ф.

7.

Предел суммы и разности

lim f

x f

2

x lim f

x lim f

2

x

1

1

8.

Предел произведения

lim f

x f

2

x

lim f x lim f

2

x

1

1

9.

Предел частного

lim

f1 x

lim f1 x

, если lim f

x 0

f2 x

lim f2 x

2

10. Первый замечательный предел

lim

sin x

1

x

x 0

11. Второй замечательный предел

1

1 x

lim 1 x x e ,

lim

1

e

x 0

x

x

63

Таблица 31

Таблица эквивалентностей

№

Эквивалентные б.м.ф.

Применение

(при x 0 )

1

sin x x

2

tgx x

3

arcsin x x

Пусть f1(x) f2(x) при x a ,

4

arctgx x

тогда

lim f (x) g(x) lim f

(x) g(x)

,

x a

1

x a

2

1

x2

5

1 cos x

lim

f1(x)

lim

f2(x)

2

x a

g(x)

x a

g(x)

6

ln(1 x) x

и

lim

g(x)

lim

g(x)

,

7

log

a

(1 x) xlog

a

e

x a f1(x)

x a f2(x)

где g(x)

– некоторая функция,

определенная в окрестности точки а

8

ex 1 x

9

ax 1 x ln a

10

(1 x)a 1 ax

Понятие

Определение

Геометрическое

изображение

1. Непрерыв-

Первое определение:

ность функ-

lim f x f x0 ;

ции y f x

x x0

в точке x0

второе определение:

lim y 0 ,

x 0

где x x x0 – приращение ар-

гумента,

y f x0 x f x0

– прира-

щение функции

2. Непрерыв-

Функция непрерывна на отрезке,

ность функ-

если она непрерывна в каждой

ции на отрез-

точке этого отрезка

ке

3. Точки раз-

Точки x1, x2 , в которых нарушена

рыва функции

непрерывность функции

y f x

а) Точка раз-

x0 – точка разрыва первого рода

рыва первого

функции y f x , если сущест-

рода функции

вуют конечные пределы

f x 0 ,

y f x

0

f x0 0 , но функция все же раз-

рывна в x0

1) x0

– точка скачка функции

y f

x , если

f x0 0 f x0 0

2) x0 – точка устранимого разрыва

функции y f x , если скачок

f x0 0 f x0 0 равен нулю

Продолжение таблицы 32

Понятие

Определение

Геометрическое

изображение

б) точка раз-

x0 – точка разрыва второго рода

рыва второго

функции y f x , если x0

не яв-

рода функции

ляется точкой разрыва первого ро-

y f x

да

Частный случай:

x0 – точка бесконечного разрыва

функции y f x , если пределы

f x0 0 и f x0 0 существуют,

но хотя бы один из них бесконеч-

ный

Название

Свойство

1. Свойства функ-

Пусть функции f x и g x непрерывны в точке x

, то-

ций, непрерывных

0

гда

в точке

1) f x g x ,

2) f x g x ,

3)

f x

,

– непрерывны в точке x0

g x

g x

0

0

2. Свойства функ-

Пусть функция y f x непрерывна на a,b , тогда

ций, непрерывных

1)

f x ограничена на a,b :

на отрезке

C 0 x a,b

f x

C

1. lim

x2 2x 3