Справочник по математике

Понятие

Определение

Координаты точки

Связь с декар-

товой системой

координат

1. Поляр-

Состоит из полюса О,

M (r, ) , где

x r cos ,

ная систе-

полярной оси Ох и мас-

r OM – полярный

y r sin ,

ма коорди-

штабной единицы

радиус, – полярный

нат

r

x2 y2 ,

угол – угол между OM

и осью Ох, причем по-

tg

y

ложительным считает-

x

ся поворот против ча-

совой стрелки

2. Цилинд-

Состоит из плоскости р,

М( , r, h), где

x r cos ,

рическая

точки О, оси Ох, лежа-

и r – это полярные

y r sin ,

система

щей в плоскости р, и

координаты точки М ,

h

координат

оси Oz, перпендикуляр-

проекции М на плос-

z

ной плоскости р

кость р, h = OM z

3. СфериСостоит из плоскости р,

М(r, , ), где

x r sin cos ,

ческая систочки О, оси Ох, лежа-

r OM , – угол по-

тема коор-

щей в плоскости р, и

y r sin sin ,

ворота оси Ох к оси

динат

оси Oz, перпендикуляр-

ОМ (при этом поло-

z r cos

ной плоскости р

жительным считается

поворот против часо-

вой стрелки), а –

угол между осью Оz и

вектором OM

Таблица 10

Линейные операции над векторами

Понятие

В координатной форме

Описание

1. Равен-

a = b ax bx , ay by , az bz

Два вектора равны тогда и только

ство век-

тогда, когда равны их координа-

торов

ты

2. Сумма

a b ax bx ,ay by ,az bz

1) Вектор, который идет из нача-

векторов

ла вектора а в конец вектора b,

при условии, что начало вектора

b приложено к концу вектора а

(правило треугольника);

2) вектор, который идет по диа-

гонали параллелограмма, постро-

енного на векторах а и b, приве-

денных к общему началу (прави-

ло параллелограмма)

3. Обрат-

a ax , ay , az

Коллинеарен а, имеет длину,

ный век-

равную |a|, и направлен в проти-

тор

воположную сторону

4. Раз-

a – b = a + (–b) =

ность век-

ax bx ,ay by ,az bz

торов

5. Произ-

а = ax , ay , az

Вектор, коллинеарный вектору а,

ведение

имеющий длину | | |a|, и на-

вектора на

правленный также, как а, если

число

> 0, и в противоположную сто-

рону, если < 0

6. Условие

a || b

a

x

ay

a

z

,

Два вектора коллинеарны тогда и

коллине-

только тогда, когда их координа-

bx

by

bz

арности

ты пропорциональны

векторов

7. Теоре-

прu (a b) прua прub ,

Проекция суммы векторов равна

мы о про-

прu ( a) прua ,

сумме их проекций на одну и ту

екциях

же ось, проекция произведения

вектора на число равна произве-

дению проекции этого вектора на

тоже число

32

Таблица 11

Скалярное произведение векторов

Понятие

Обозна-

Определение и формула

чение

1. Скалярное

ab,

Число, равное произведению длин векторов на ко-

произведение

(a, b)

синус угла между ними:

векторов

ab = |a| |b|cos .

Скалярное произведение можно определить через

проекцию:

0

ab

a

прab

2. Физический

A = ab

Если вектор а изображает силу, точка приложе-

смысл

ния которой перемещается из начала вектора b в

его конец, то работа А этой силы равна скалярно-

му произведению этих векторов

3. Скалярное

ab,

Если а (x1, y1, z1) и b (x2 , y2 , z2 ) , то

произведение в

(a, b)

ab = x1x2 y1y2

z1z2

координатах

4. Свойства ска-

1) ab = ba,

лярного произ-

2) ( a + b)c = (ac) + (bc),

ведения

3) аа > 0,

если а 0 ,

аа = 0,

если а = 0,

4) ab > 0

,

2

ab < 0

,

2

ab = 0

2

5. Длина вектора

1)

a

aa

и угол между

ab

x1x2 y1y2 z1z2

векторами через

2)

cos

a

b

2

2

2

2

2

2

скалярное про-

x1

y1

z1

x2

y2 z2

изведение

Таблица 12

Векторное произведение векторов

Понятие

Обозна-

Определение

Геометрическое

чение

изображение

1. Правая

(а, b, c)

Если, находясь внутри трехгранного

тройка

угла, образованного этими векторами,

векторов

приведенными к общему началу, по-

ворот от а к b, от b к с, от с к а

виден против часовой стрелки

2. Левая

(а, b, c)

Eсли, находясь внутри трехгранного

тройка

угла, образованного этими векторами,

векторов

приведенными к общему началу, по-

ворот от а к b, от b к с, от с к а

виден по часовой стрелки

3. Век-

с = а b,

Вектор с,

удовлетворяющий услови-

торное

с = [a, b]

ям:

произве-

1) |c| = |a| |b| sin ,

где

– угол меж-

дение

ду векторами а и b,

2) вектор

с перпендикулярен векто-

рам а и b,

3) (а, b, c) – правая тройка

4. Гео-

S

a b

Если векторы а и b привести к об-

метриче-

щему началу, то длина их векторного

ский

произведения |а b| будет равна

смысл

площади S параллелограмма, по-

строенного на векторах а и b

5. Век-

Если а (x1, y1, z1)

и b (x2 , y2 , z2 ) , то

торное

i

j

k

y

z

x

z

x

y

произве-

a b =

=

i

j

x

y

z

k

дение в

1

1

1

1

1

1

1

1

1

y2

z2

x2

z2

x2

y2

коорди-

x2

y2

z2

натах

6. Свой-

1) а b = 0 а и b коллинеарны,

ства век-

а а = 0,

торного

2) а b = – b a,

произве-

3) а b = (а b),

а b = (а b),

дения

4) (a + b) c = a c + b c,

a (b + c) = a b + a c

34

Таблица 13

Смешанное произведение векторов

Понятие

Обозначе-

Определение

ние

1. Смешанное

abс

Это число,

равное

произведение

(a, b, с)

(а b)c = a(b c)

2. Геометри-

V = abс

Смешанное произведение

ческий смысл

трех векторов равно объ-

смешанного

ему параллелепипеда, по-

произведения

строенного на этих векто-

рах, приведенных к об-

щему началу, и взятому

со знаком «+», если

тройка (a, b, с) правая, и

со знаком «–», если

тройка (a, b, с) левая

3. Смешанное

Если а (x1, y1, z1) , b (x2 , y2 , z2 ) , с (x3, y3, z3) , то

произведение

x1

y1

z1

в координатах

abс =

x2

y2

z2

x3

y3

z3

4. Условие

x1

y1

z1

компланарно-

abс = 0

или

x2

y2

z2

= 0

сти трех век-

x3

y3

z3

торов

5. Свойства

1) abс > 0 (a, b, с)

– правая тройка,

смешанного

abс < 0 (a, b, с)

– левая тройка,

произведения

abс = 0 (a, b, с) – компланарны,

2) abс = – baс = – сbа = – acb,

abс = сab = bса

1.

Найти длину медианы

АК

треугольника АВС, если А(5;–1),

В(2;–2), С(4;–1).

Решение:

Найдем координаты точки К, как середины отрезка ВС:

x

2 4

3, y

2 1

3

3,

3

,

K

. Найдем длину АК, как расстояние

2

2

2

2

2

3 5

2

3

1

17

между точками А и К:

AK

1

4

2

4

2

Ответ: AK

17

.

2

2. Найти длину вектора

a 20i 30 j 60k

и его направляющие коси-

нусы.

Решение:

Найдем длину вектора | a |

202 302 ( 60)2

70 . Най-

дем теперь направляющие косинусы:

cos

20

2

,

cos

30

3

,

cos

60

6

.

70

7

70

7

70

7

Ответ: | a | 70 , cos

2

, cos

3

,

cos

6

.

7

7

7

3. Найти косинус угла между векторами

AB и AC , если

А(6,–1,2),

В(1,1,–2), С(4,–1,0).

Решение: Найдем координаты векторов

1 6,1 1, 2 2 5,2, 4 ,

4 6, 1 1,0 2

2,0, 2 .

AB

AC

cos

AB

AC

( 5) ( 2) 2 0 ( 4) ( 2)

3

.

| AB | | AC |

25 4 16 4 0 4

10

Ответ: cos

3

.

10

4. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках A1, A2, A3,

если

A (2,1,4),

A (1, 1,0),

A ( 1,1,2).

1

2

3

A A

(1 2, 1 1,0 4) ( 1, 2, 4),

A A

( 1 2,1 1,2 4) ( 3,0, 2) .

1

2

1

3

i

j

k

1

2

4

4i 10 j 6k .

A1A2

A1A3

3

0

2

b , если a p 3q,

b p q,

p

1,

q

2,

p,q 3.

Найдем длину векторного произведения

| a b | 4 | q p | 4 | q | | p | sin 4 2 1

3

4 3 . Следовательно, используя

3

2

геометрический смысл векторного произведения, S | a b | 4

3 .

Ответ: S 4

3 .

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A , A , A , A , если

1

2

3

4

A (1,3,6), A (2,2,1),

A ( 1,0,1),

A ( 4,6, 3) .

1

2

3

4

Решение: Найдем координаты векторов

( 1 1,0 3,1 6) ( 2, 3, 5) ,

A A

(2 1,2 3,1 6) (1, 1, 5) ,

A A

1

2

1

3

A A

( 4 1,6 3, 3 6) ( 5,3, 9) .

Найдем объем тетраэдра (он будет ра-

1

4

1

1

1

5

1

1

V

2

3

5

(27 25 30 75 18 15)

A A

A A

A A

6

1 2 1 3 1 4

6

5

3

9

6

1. Найти длину медианы

АК треугольника АВС, если А(3;–2),

В(–1;2), С(1;0).

Ответ: 3 2 .

2. Найти длину вектора

a 4i 6 j k и его направляющие косинусы.

4

,

6

1

.

Ответ: 53,

,

53

53

53