45

Результат определения усилий не зависит от того, равновесие какой части стержня рассматривать.

На примере данной задачи покажем справедливость этого утверждения. Рассмотрим равновесие правой части (рис. 3.6), показав положительные

направления усилий в соответствии с правилом знаков.

∑Z = 0; - N –40 . cos 30° = 0; N = -40 . √3/2 -34,6 кН (сжатие).

3.2. Построение эпюр внутренних сил

Если взять для рассмотрения несколько поперечных сечений стержня и в каждом из них найти внутренние силы, то будет видно, что они изменяются в зависимости от расположения сечения. Расположение сечения определяется координатой z. То есть усилия являются функциями z, и эти функции могут быть представлены в виде графиков.

Графики функций N(z), Qу(z), Qх(z), Мх(z), Му(z), Qz(z) называются эпюрами внутренних сил.

При рассмотрении стержня на плоскости Оуz могут быть построены только три эпюры N(z), Qу(z), Мх(z).

«Аналитический» способ построения эпюр

1.Определяются опорные реакции, если это необходимо.

2.Стержень разбивается на участки. Границами участков являются:

−края стержня,

−точки приложения сосредоточенных сил и моментов (включая реакции),

−границы распределенных нагрузок.

Участки нумеруются последовательно слева направо, а в консольных стержнях – по направлению к заделке.

3.На каждом из участков произвольно выбирается сечение. Его положе-

ние задается переменным расстоянием zi (где i – номер участка). Это расстояние отсчитывается обычно от левого или от правого краев стержня.

4.На каждом i-м участке записываются аналитические выражения для

усилий, показывающие, как усилия зависят от расстояния zi. Усилия при этом выражаются через нагрузку, приложенную либо к левой, либо к правой частям стержня (в зависимости от точки отсчета zi).

46

5.Полученные функции изображаются графически, для чего сначала подсчитываются их значения в ряде сечений. Графики усилий (эпюры) строятся на осях, параллельных оси стержня, и штрихуются вертикальной штриховкой. Символами и Θ – отмечаются знаки усилий. Вычисленные значения наносятся на чертеж. Описанный способ построе-

ния эпюр называется аналитическим.

Для выполнения расчета на прочность необходимо знать наибольшее значение каждого из усилий и расположение сечений, в которых они этих значений достигают.

Сечения, в которых усилия достигают наибольших значений (по модулю), принято считать «опасными».

На практике при определении усилий уравнения равновесия для части стержня очень редко записываются в явном виде, как это делалось при решении задач. Как правило, можно сразу записать, чему равно усилие, если знать, как оно связано с нагрузкой, которая его вызывает.

Рассмотрим, как можно по внешней нагрузке определить величину и знак внутренней силы.

а) Усилие N (продольное усилие).

Рис. 3.7

На рисунке 3.7 показан рассеченный стержень, в сечении которого возникает положительное (растягивающее) усилие N. Неизвестное усилие N должно находиться из уравнения ∑Z = 0, которое составляется для одной из частей стержня. Чтобы сила N и нагрузка уравновесили друг друга они должны быть направлены в разные стороны.

Из рис. 3.7 видно, что внешние силы, вызывающие растягивающее усилие N направлены «от рассматриваемого сечения». То есть

N = F1 + q1 . a1 (для левой части стержня), N = F2 + q2 . a2 (для правой части стержня)

.

Соответственно, нагрузка, направленная «к сечению» будет вызывать отрицательное усилие N.

б) Усилие Qу (поперечная сила).

47

Рис. 3.8

На рис. 3.8 показан рассеченный стержень с положительно направленным усилием Qy. Неизвестное усилие Qу должно находиться из уравнения ∑Y = 0, составленного для одной из частей стержня. Чтобы Qy и нагрузка уравновесили друг друга, они должны быть направлены в разные стороны. Из рис. 3.8 видно, что внешние силы, вызывающие положительную поперечную силу, стремятся повернуть отсеченную часть стержня «по часовой стрелке» относительно оси х, проходящей через сечение. То есть

Qy = F1 + q1 . a1 (для левой части стержня), Qy = F2 + q2 . a2 (для правой части стержня).

в) Усилие Мх (изгибающийся момент).

y y

Рис. 3.9

На рис. 3.9 показан рассеченный стержень с положительным усилием Мх. Неизвестный внутренний момент Мх следует искать из уравнения равновесия ∑mх = 0 (х проходит через центр тяжести сечения), составленного для левой части стержня. Из рис. 3.9 видно, что, если усилие Мх направлено против часовой стрелки, то уравновешивающая его нагрузка должна давать относительно х момент по часовой стрелке (и наоборот). То есть, другими словами, внешние силы вызывают положительный изгибающий момент, если стремятся изогнуть часть стержня выпуклостью вниз (вызвать растяжение в нижних волокнах стержня). Тогда

48

Мх = М1 + F1 .с1 + q1 . a1 . b1 (для левой части стержня), Мх = М2 + F2 . с2+ q2 . a2 . b2 (для правой части стержня).

Соответственно нагрузка, направленная иначе, чем на рисунке, будет вызывать отрицательное усилие Мх.

Нагрузка в виде сосредоточенного момента никогда не входит в выражения для усилий N и Qу, поскольку не входит в уравнения для их определения ∑Y = 0, ∑Z = 0. На любую ось момент, представляющий собой пару разнонаправленных равных сил, всегда проектируется в нуль.

3.3. Построение эпюр внутренних сил в балках

Балкой называется брус или стержень, работающий преимущественно на изгиб. При этом нагрузки, действующие на балку, направлены перпендикулярно к оси стержня.

Если изгиб происходит в двух главных плоскостях (плоскостях, проходящих через главные центральные оси и ось z), то такой изгиб называют сложным.

Частный случай сложного изгиба, при котором нагрузка в вертикальной плоскости подобна (отличается множителем) нагрузке, приложенной в горизонтальной плоскости, называется косым изгибом.

При сложном и косом изгибах в сечениях стержня возникают поперечные силы Qх и Qу и изгибающий момент Мх (или соответственно Qх и Му). Это прямой поперечный изгиб.

Рассмотрим построение эпюр Qу и Мх при прямом поперечном изгибе. Предварительно обратим внимание на геометрический смысл диффе-

ренциальных зависимостей Журавского для балок.

графически.

51

От сечения В до сечения при z = z1 значение Qу убывает до нуля. Соответственно на эпюре Мх убывает до нуля угол αм и при z = z2 касательная к графику Мх становится горизонтальной (экстремум).

При z = z2 Qу меняет знак, а на графике Мх(z) меняет знак угол αм.

На участке от z = z2 до сечения С модуль отрезка hQ на графике Qу растет и соответственно увеличивается угол αм, так как при любом z = z3 tgαМ = hQ.

Поскольку нигде на графике Qу отрезок hQ не изменяется скачкообразно, угол αМ на графике Мх также изменяется плавно, поэтому эпюра Мх в данном случае не имеет изломов.

Из дифференциальных зависимостей Журавского и зависимостей (3.1) можно получить и применять при построении эпюр Qу и Мх ряд более детальных правил, которые изложены ниже в комментариях.

Если на участке балки отсутствует распределенная нагрузка (qу = 0), то поперечная сила Qу постоянна (горизонтальная линия), а эпюра изгибающего момента Мх линейна (наклонная прямая) (рис. 3.12).

В частном случае, когда Qу = 0, изгибающий момент Мх постоянен (рис.

3.12б).

Возможен вырожденный случай, когда qу = 0, Qу = 0 и Мх = 0

(рис. 3.12 в).

Mx=const

Mx=0

Mx-линейная функция

Рис. 3.12

54

Задача. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 3.17.

10

14

Рис. 3.17

Решение.

1. Определяем опорные реакции.

∑mА = 0; RB . 6 – М – F . 2 = 0 ; RB . 6 – 18 – 12 . 2 = 0 ;

(18 + 24)

RB = ------------- = 7 кН ; 6

∑mВ = 0; -RА . 6 + F . 4 – М = 0 ; RА . 6 +12 . 4 – 18 = 0 ;

6 Проверка: ∑Y = RА + RB – F = 5 + 7 – 12 = 0 ;

2.Нумеруем участки. На каждом участке выбираем произвольное сечение, показывая расстояние до него от левого или правого краев балки.

3.На каждом участке записываем аналитические выражения для Qу и Мх, рассматривая равновесие правой или левой частей балки.

Полученные функции изображаем графически на эпюрах.

Эпюры Qу и Мх построены.

В рассмотренной задаче на балку воздействовали сосредоточенные нагрузки. В следующей задаче демонстрируются основные приемы работы с равномерно распределенными нагрузками.

Задача. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 3.18

57

z3

z1

q1=2 кН/ м

Рис. 3.18

Решение.

В данной балке можно построить эпюры, не определяя опорных реакций, если на всех участках выражения для Qу и Мх составлять, используя нагрузки, расположенные справа от сечения, а левую часть стержня (вместе с неизвестными реакциями) отбрасывать.

Пронумеруем участки (по направлению к заделке). На каждом покажем произвольное сечение, привязав его к правому краю балки.

Записываем аналитические выражения для Qу и Мх. Полученные функции изображаем графически.

58

Выпуклость параболы – вниз.

Касательная к ней горизонтальна в сечении, где Qу = 0, то есть на краю балки.

При вычислении значений усилий необходимо указывать сечения, для которых производится подсчет.

В задаче указание выполнялось явно.

Пример: при z1 = 2 м Мх = …

В задаче для этого используется значок │ z =, который читается как

«при».

Так, выражение Мх│z1=2м можно прочитать как «значение Мх при z1=2м». Еще один способ заключается в том, чтобы обозначить все сечения балки буквами: А, В, С, D, Е и т.д.. В этом случае можно, например, записать

МDх = , что будет обозначать: «значение Мх в сечении D».

Каждый вправе использовать тот способ указания сечений, который ему

Мх│z1=2 = -4 + 10 = 6 кНм ; Мх│z2=4 = -16 + 10 = -6 кНм ;

Более точно квадратная парабола строится по трем точкам. Третью точку берем в середине участка.

Мх│z2=3 = -9 + 10 = +1 кНм ;

Выпуклость параболы – вниз. Экстремумов нет.

На стыке 1-го и 2-го участков приложен сосредоточенный момент М = 10 кНм. В силу этого на эпюре Мх образовался скачок, по величине и направлению совпадающий с внешним моментом.

Qу = +q1 . 4 - q2 . (z3 – 4) = 2 . 4 – 4 . (z3 – 4) = -4z3 + 24 ;

Qу│z3=4 = -16 + 24 = 8 кН ; Qу│z3=7 = -28 + 24 = -4 кН ;

59

Наклонная прямая Qу(z3) имеет уклон в другую сторону и расположена круче, чем на 1-м и 2-м участках, поскольку тангенс угла ее наклона равен

2

4 . (z3 – 4)2

= 10 – 2 . 4 . (z3 – 2) + ---------------- = 2z32 – 24z3 + 58 2

Мх│z3=4 = 2 . 42 – 24 . 4 + 58 = -6 кНм ; Мх│z3=7 = 2 . 72 – 24 . 7 + 58 = -12 кНм .

На стыке 2-го и 3-го участков к балке не приложены сосредоточенные силы и моменты. Поэтому в данном сечении эпюра Мх не имеет разрыва и не имеет излома, то есть гладкая. Квадратная парабола обращена выпуклостью вверх и имеет экстремум в том сечении, где эпюра Qу пересекает ось (Qу = 0). Для построения параболы в данном случае следует третье значение считать не в середине участка (как на участке 2), а в месте экстремума.

В данном случае Qу (z3)│z3=а = 0, то есть

-4а + 24 = 0, откуда а = 6 м.

Экстремальное значение Мх равно:

Мх│z3=6м = 2 . 62 – 24 . 6 + 58 = -14 кНм.

Проводим квадратную параболу через три точки. Эпюры Qу и Мх построены.

Задача. Аналитическим способом построить эпюры усилий для балки, изображенной на рис. 3.19

– 10 – 30 – 20 . 4 . 2 + 40 . 3 + RВ . 4 ; RВ = (200 - 120) / 4 = 20 кН ;

Проверка:

∑Y = RА . 4 – F - RА - RВ = 20 . 4 – 40 – 20 – 20 = 0 .