5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

88

τxy, = τyx., τyz = τzy, τzx = τxz – касательные напряжения.

При этом - у σ индекс указывает нормаль к площадке (сечению); - у τ первый индекс соответствует нормали к площадке (сече-

нию), а второй – направлению напряжения.

Принято следующее правило знаков для напряжений:

-σx, σy, σz > 0 (положительны), если их направление совпадает с направлением внешней нормали к площадке (сечению), что соответствует растяжению в данном направлении в точке тела;

-τxy, τyz, τzx > 0 (положительны), если при положительном (отрицательном) направлении внешней нормали к площадке, само напряжение также направлено в соответствующее положительное (отрицательное) направление. При несовпадении направлений нормали и напряжения последнее считается отрицательным.

Взависимости от характера нагружения и выбора системы координат в точках нагруженного твердого тела различают 3 вида напряженного состояния.

Линейное напряженное состояние – когда имеется в точке только одно нормальное (растягивающее или сжимающее) напряжение (при центральном растяжении или сжатии) (рис. 5.2 а).

Плоское напряженное состояние – когда все напряжения в точке тела имеют место в одной плоскости (например – чистый сдвиг, прямой поперечный изгиб) (рис. 5.2 в).

Объемное напряженное состояние – когда все напряжения в точке тела имеют место по всем координатным площадкам (сечениям) (рис. 5.1).

89

5.2. Плоское напряженное состояние

Плоское напряженное состояние является одним из самых распространенных видов напряженного состояния в инженерных (в т.ч. строительных) конструкциях, когда по координатным площадкам имеются три компоненты

напряжений, т.е. σx, σy, τxy = τyx.

Рассмотрим основные характеристики этого напряженного состояния без подробного вывода соответствующих соотношений и формул.

1. Определение напряжений по наклонным площадкам.

Пусть σx, σy, τxy, = τyx – известные напряжения по координатным площадкам;

n– внешняя нормаль к наклонной площадке (сечению);

α– угол между осью x и n (l > 0, если отсчитывается от положительного направления оси x к положительному направлению оси против движения часовой стрелки).

Тогда, согласно рис. 5.3, в соответствии с методом сечений из условия равновесия бесконечно малого элемента, образованного координатными и наклонными сечениями можно получить формулы напряжений по наклонной площадке (сечению):

2. Главные площадки и главные напряжения в точках нагруженного твердого тела.

Если через точку тела провести несколько наклонных площадок, то в соответствии с формулами (5.2) напряжения в них, выраженные через напряжения в координатных площадках, зависят от угла наклона нормали (т.е. от угла α).

Очевидно, исследуя функцию σα = σα (α) на экстремум, можно получить экстремальные (максимальные и минимальные) значения нормальных

91

При чистом сдвиге связь между касательным напряжением и угловой деформацией характеризуется законом

τ=G γ (закон Гука при сдвиге).

Здесь G= 2(1Е+μ) - модуль сдвига (или модуль упругости второго рода).

При объемном напряженном состоянии зависимость между напряжениями и деформациями можно установить, если рассмотреть деформирование кубика со сторонами равными 1,0 при наличии нормальных и касательных напряжений по его граням.

Учитывая, что размеры элемента при деформировании меняют нормальные напряжения, а форму – касательные, рассмотрим отдельно процесс деформирования этого единичного элемента.

От нормальных напряжений (рис. 5.4) σx, σy, σz деформация ребра, параллельного оси x, в соответствии с принципом независимости действия сил

можно представить в виде:

εx=εx(1)+ εx(2)+ εx(3),

где εx(1)= σEx - деформация ребра от σx- продольная;

εx(2)=-μ σEy - деформация ребра от σy – поперечная;

εx(3)=-μ σEz - деформация ребра от σz – поперечная.

Тогда получим:

εx= σEx -μσEy -μσEz = Е1 [σx −μ(σy +σz )].

Аналогично можно записать выражения деформаций для ребер, параллельных осям y и z.

Рис. 5.4

Учитывая, что касательные напряжения определяют сдвиг только в той плоскости, где они имеют место, например в плоскости xoy (рис. 5.5),

92

зависимость между угловой деформацией и касательным напряжением будет аналогична чистому сдвигу, т.е.

γxy= τGxy или τxy=G γxy

Рассматривая все компоненты деформаций, запишем общее выражение их через напряжения:

- обобщенный закон Гука в обратной форме.

Если разрешить эти уравнения относительно напряжений, то получим:

-обобщенный закон Гука в прямой форме.

Вслучае плоского напряженного состояния (рис. 5.6)

z σy

Рис. 5.6