В строительстве широкое применение находит прокатная сталь. Сечения прокатных профилей показаны на рис. 2.7:

Рис. 2.7

2.4. Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей

Установим зависимость между моментами инерции одного и того же сечения относительно разных, но параллельных осей.

Предположим, что моменты инерции сечения относительно ее центральных осей Jxc , Jyc , Jxc yc известны (рис. 2.8).

Необходимо определить моменты инерции сечения относительно произвольных осей х и у, параллельных центральным осям хс и ус этого сечения.

Используя обозначения рисунка 2.8, вычислим осевой момент инерции сечения относительно оси х.

Рис. 2.8

22

Учитывая, что статические моменты фигур относительно центральных осей равны нулю: Sxc = 0 , в результате получаем

Jx = Jxc + a 2 A.

Выполняя аналогичные вычисления для второго осевого момента инерции и центробежного момента инерции, будем иметь следующие формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей

Из формул для осевых моментов инерции следует, что для всех параллельных осей наименьшее значение осевые моменты инерции имеют относительно центральных осей хс и ус.

Если заданное сечение можно разбить на простейшие фигуры, то полученные формулы вычисления моментов инерции при параллельном переносе

2.5. Преобразование моментов инерции при повороте осей

Предположим, что моменты инерции сечения Jx, Jy, Jxy относительно заданной системы координат х, у известны. Повернем заданную систему координат вокруг начала координат на произвольный угол ά (рис. 2.9). Положительным будем считать угол поворота от положительного значения х к положительному значению у.

На рис. 2.9 показан положительный угол поворота для заданной системы координат.

Формулы, связывающие координаты центра тяжести элементарной площадки dA в новой (повернутой) и старой системах координат, приведены на рис. 2.9.

23

Тогда момент инерции сечения относительно оси u будет равен:

Первый и третий интегралы представляют собой моменты инерции Jx и Jy относительно старых осей, второй интеграл – центробежный момент инерции Jxy. Выполняя аналогичные вычисления для другой оси и для центробежного момента сопротивления, получим следующие формулы:

т.е. при повороте осей значения осевых моментов инерции относительно этих осей изменяются, но их сумма остается постоянной, поскольку равна полярному моменту инерции.

2.6. Главные оси инерции. Главные моменты инерции

Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты инерции будут изменяться, причем Jx + Jy = const.

Если сумма двух переменных величин остается постоянной, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается. Следовательно, при каком-то положении осей один из осевых моментов инерции достигает максимального значения Jmax, а другой момент инерции - минимального значения Jmin.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения, называются главными осями инерции, а моменты инерции – главными моментами инерции.

В теории моментов инерции доказывается, что центробежный момент инерции равен нулю: Jxy = 0 относительно главных осей инерции.

Ранее мы установили, что центробежный момент инерции равен нулю, если одна из осей х или у – ось симметрии. Кроме того, ось симметрии – центральная ось.

Следовательно, оси симметрии фигуры являются главными цен-

тральными осями инерции.

Величины главных моментов инерции можно определять по формуле

Ось, относительно которой момент инерции достигает максимального значения, называется осью максимум, или первой главной осью инерции.

24

Ось, относительно которой момент инерции достигает минимального значения, называется осью минимум, или второй главной осью инерции.

Поскольку сумма осевых моментов инерции должна оставаться постоянной, то для проверки вычислений можно использовать равенство

Jx + Jy = Jmax + Jmin .

Углы наклона главных осей инерции относительного исходной оси х можно определять по следующим формулам

Из формул следует, что, если один из углов получится положительным, то другой будет обязательно отрицательным. Для проверки вычислений можно использовать условие, что сумма абсолютных значений углов должна быть равна девяносто градусов:

αmax + αmin = 90o .

2.7.Моменты сопротивления сечений

При решении задач изгиба и кручения используется геометрическая характеристика сечения, которая называется моментом сопротивления.

Осевым моментом сопротивления называют отношение главного центрального момента инерции к расстоянию от главной центральной оси до самой удаленной точки на внешнем контуре сечения (рис. 2.10):

Моменты сопротивления вычисляются в мм3, см3 и т. д.

Моменты сопротивления величины положительные и не равны нулю. Моменты сопротивления сложных сечений не равны сумме моментов со-

противлений составных частей сечения, за исключением некоторых фигур. Подсчитаем моменты сопротивления прямоугольного сечения (см. рис.

2.5).