39

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛ В СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЕЙ. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛ

3.1. Внутренние силы в сечениях бруса (стержнях). Их связь с нагрузкой

Как указано в п. 1.6, в любом сечении стержня при его произвольном нагружении могут иметь место 6 компонентов внутренних сил:

-продольная (нормальная) сила N;

-поперечные силы Qх, Qу;

-крутящий момент Mz = Mкр;

-изгибающие моменты Мх, Му.

Их значения определяются методом сечений, изложенным в этом параграфе. Знаки внутренних сил определяются правилом, согласно которому положительные направления соответствующих усилий для левой и правой частей стержня показаны на рис.3.1.

Рис. 3.1

То есть, если направление нормали к сечению совпадает с положительным направлением оси z (левая часть), то положительные направления усилий N, Qх, Qу совпадают с положительным направлением координатных осей, и наоборот (правая часть). Изгибающие моменты Мх, Му положительны, если вызывают растяжение в первой четверти сечения. Крутящий момент МZ больше нуля, если действует против часовой стрелки при взгляде на сечение со стороны внешней нормали.

На плоскости правило знаков здесь можно сформулировать следующим образом:

Усилие N > 0, если вызывает растяжение в поперечном сечении стержня (направлено «от сечения» и в левой и в правой его частях).

Усилие Qу > 0, если (совместно с внешней нагрузкой) стремится повернуть отсеченную часть стержня по часовой стрелке.

Усилие Мi > 0, если вызывает растяжение в нижних волокнах стержня (поскольку у направлена вниз, первый квадрат сечения оказывается внизу – ниже оси z).

40

Рассмотрев, используя метод сечения, равновесие малого элемента dz стержня, загруженного произвольной нагрузкой, представленного в проекци-

у

х у

Рис. 3.2

можно получить следующие дифференциальные зависимости; называемые зависимостями Д.И. Журавского:

где qz, qх, qу – интенсивность соответствующей распределенной нагрузки;

mz, mх, mу – интенсивность соответствующего момента; N, Qх, Qу, Мz, Мх, Му – внутренние силы в сечении.

В сопротивлении материалов в основном рассматриваются задачи, когда нагрузка и внутренние силы лежат в одной плоскости (ЦРС, изгиб, кручение). В этом случае используются лишь те соотношения, которые определяются нагрузкой, т.е.,

При определении внутренних сил методом сечений часто возникает ситуация, когда рассматриваемая часть стержня содержит опору с действующей (действующими) на ней неизвестной реакцией (реакциями). В этом случае неизвестные внутренние силы невозможно определить из уравнений равновесия до тех пор, пока реакция не будет найдена.

Неизвестные реакции определяются (если это необходимо) по правилам теоретической механики из уравнений равновесия, составленных для всего стержня.

В зависимости от своей конструкции опоры могут препятствовать тем или иным перемещениям точки опирания.

Ограничение степени свободы называется связью.

По направлению связи возникает реакция сил. Характер и направление реакции на опоре определяется числом и расположением связей, что в свою очередь зависит от конструкции опоры (табл. 1).

Т а б л и ц а 3.1

Различные виды опор, используемые при построении расчетных схем

Для определения n опорных реакций необходимо составить n уравнений равновесия, чтобы уравнения были независимыми друг от друга.

42

Для произвольной системы сил на плоскости можно составить три линейно независимых уравнения равновесия. Для системы параллельных сил – лишь одно.

Задача. Определить опорные реакции для стержня, изображенного на рис. 3.3.

у

Рис. 3.3

Стержень, имеющий две шарнирные опоры (двухопорная балка), встречается достаточно часто. Для определения вертикальных реакций в этом случае используется следующая система уравнений:

∑mА = 0

, то есть

∑mВ = 0

момент RА относительно т. А равен нулю – находится реакция RВ, момент RВ относительно т. В равен нулю – находится реакция RА. Любое другое уравнение будет содержать сразу две неизвестные реак-

ции (как RА, так и RВ) и решение несколько усложнится.

Решение.

1.Выберем исходную систему осей у и z и покажем неизвестные опорные реакции RА и RВ, предполагая, что они направлены вверх.

2.Составляем уравнения равновесия.

∑mА = 0; М + F . 2 – (q . 2) + RВ . 5 = 0;

откуда

RВ = (-20 – 10 . 2 + 15 – 2 . 4) /5 = 16 кН

∑mВ = 0; -RА . 5 + М – F . 3 + R . 1 = 0, где R = q . 2

откуда

RА = (20 – 10 . 3 + 15 – 2 . 1) /5 = 4 кН.

3. Выполним проверку правильности определения реакций.

∑Y = RА + RВ + F - q . 2 = 4 + 16 + 10 – 15 . 2 = 0.

Реакции найдены верно.

43

В общем случае в шарнирно неподвижной опоре (опора А на рис.3.3) возможно возникновение горизонтальной компоненты реакции.

Однако на чертеже она не показана, поскольку очевидно, что все силы, приложенные к стержню, при их проектировании на ось z дадут нуль, и поэтому горизонтальная компонента реакции также получится равной нулю из уравнения ∑z = 0.

Первоначальное направление реакций может быть задано произвольно, однако желательно предугадать его и сразу указать на чертеже правильно. Если после решения уравнения значение какой-либо реакции получилось отрицательным, то это означает, что первоначальное направление вектора НА показано неверно.

После определения реакций все внешние силы, действующие на брус, становятся известными.

Во всех последующих расчетах между заданными активными силами и найденными реакциями уже не делается никаких различий.

Рассмотрим задачу определения (подсчета) значений внутренних сил в конкретном сечении заданного стержня.

Задача. Брус, имеющий шарнирные опоры, загружен внешними силами, изображенными на рис.3.4. Определить усилия в сечении, расположенном в середине пролета, методом сечений.

Рис. 3.4

Решение.

1. Определяем опорные реакции.

∑mА = 0; -(q . 4) . 2 – (F . sin 30° ) . 7 - М + RВ . 10 = 0 RВ = 1/10(10 . 4 . 2 + 40 . 0,5 . 7 + 30) = 25 кН

∑mВ = 0; - RА . 10 + (q . 4) . 8 + (F . sin 30° ) . 3 - М = 0

RА = 1/10(10 . 4 . 8 + 40 . 0,5 . 3 - 30) = 35 кН.