93

запишем:

γxy = τGxy

-обобщенный закон Гука в обратный форме

σx = 1−Eμ2 (εx +μεy )

τxy = Gγxy

Основные положения настоящей главы являются основанием для исследования напряженного состояния элементов конструкций при произвольном их нагружении.

6.ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ (ИЗГИБ БАЛОК)

6.1.Определение напряжений в балке

Элемент конструкции – прямой стержень, имеющий хотя бы одну плоскость симметрии и загруженный поперечной нагрузкой, лежащей в этой плоскости, называется балкой.

Как известно из главы 3, в поперечных сечениях балок имеются лишь две внутренние силы - Мх – изгибающий момент и Qу - поперечная сила. Методика определения их величины и построения эпюр изложена в главе 3.

Известна зависимость между внутренними силами и соответствующими напряжениями в поперечных сечениях (рис. 6.1):

Рис. 6.1

94

Следовательно, в произвольной точке поперечного сечения балок имеются два напряжения:

-σz - нормальное, вызываемое изгибом, т.е. Мх;

-τzy - касательное, вызываемое поперечным усилием Qу, т.е. сдвигом (срезом);

z – продольная ось балки;

х, у – главные центральные оси сечения; А – площадь сечения;

т. К(х, у) – рассматриваемая (изучаемая) точка; dА – малая площадка у т. К.;

Qу, Мх – внутренние силы в сечении;

τzy, σz – напряжения в рассматриваемой точке К. Используя две гипотезы:

−гипотезу плоских сечений, согласно которой и плоские и поперечные сечения в балках при изгибе остаются плоскими, т.е. поворачиваются как единое целое относительно поперечной оси х;

−гипотезу о независимой работы продольных волокон, согласно которой продольные волокна не оказывают взаимного давления друг на друга, то

есть при отсутствии σz находится в условиях ЦРС;

− можно получить формулы определения напряжений в произвольной точке рассматриваемого сечения балки в виде:

Мх

На рис. 6.2 показаны основные параметры формул для произвольного сечения балки и эпюры σz и τzy по высоте сечения.

95

y

Рис. 6.2

В формулах (6.1) и (6.2):

−Мх, Qу – значения внутренних сил в рассматриваемом сечении I – I;

−Ух – момент инерции площади сечения относительно главной центральной поперечной оси х;

−у – координата изучаемой точки;

−Sхω - статический момент части площади сечения по одну сторону от рассматриваемого волокна (точки К);

−b – ширина сечения на уровне рассматриваемого слоя.

Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному Закону и достигают наибольших растягивающих и сжимающих значений в точках z и S, наиболее удаленных от нейтральной оси.

При этом поперечное сечение по высоте делится нейтральным слоем на две зоны – растянутую с выпуклой стороны и сжатую с вогнутой стороны. Продольные волокна в нейтральном слое искривляются, но не изменяют своей длины (σz = 0), поэтому нейтральную ось (линию пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения) называют еще и нулевой линией.

Наибольшее напряжение в поперечном сечении определяются по формуле:

уmax

относительно оси х.

Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, следует применять сечения, симметричные относительно нейтральной оси (двутавровые, коробчатые), у которых большая часть сечения удалена от нейтральной оси и находится в области действия наибольших нормальных напряжений σz (рис.6.3, а).

96

Эп.δz

а)

x

Эп.δz

б)

x

Рис. 6.3

Для балок из хрупких материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие, можно применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси, например, тавровое сечение, П-образное сечение, несимметричный двутавр. При применении этих сечений следует располагать их таким образом, чтобы большая часть материала находилась в растянутой зоне балки (например, полка таврового сечения, изображенного на рис. 6. 3, б).

По высоте поперечного сечения касательные напряжения изменяются по тому же закону, как и величина Sхω/в, т.е. в крайних по высоте сечения волокнах они равны нулю, а наибольшего значения достигают на уровне нейтрального слоя.

Значение наибольшего в рассматриваемом сечении балки касательного напряжения определяется формулой:

Здесь , в отличие от (6.2):

SхΩ – статический момент растянутой или сжатой части площади сечения, т.е. расположенной по одну сторону от нейтральной оси (оси х);

вн.сл. – ширина сечения на уровне рассматриваемого слоя. Равнодействующие σz растянутой и сжатой зон сечения равны и образу-

ют пару сил с плечом Z0 определяется формулой:

Рассмотрим распределение касательных напряжений по высоте поперечных сечений.

1. Прямоугольное сечение.

Определим касательное напряжение в точках слоя, расположенного на произвольном расстоянии у от нейтральной сои ох. Проведем сечение через точки слоя параллельно оси ох. Статический момент отсеченной (заштрихованной) части площади равен:

Sхω = ω . ус ,

где ω = b . (h/2 – у), а ус = у + ½ (h/2 – у) = ½ (h/2 + у),

следовательно:

Sхω = b (h/2 – у) ½ (h/2 + у) = b/2 (h2/4 – у2).

При Jх = bh3/12 по формуле Журавского получим:

где τср = Qу / bh – среднее напряжение в сечении.

Из формулы видно, что касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратной параболы. В крайних точках сечения (у = ± h/2) τ= 0, поскольку Sхω = 0, а на уровне нейтрального слоя (у = 0) возникают наибольшие касательные напряжения.

Qу

max τzy = 3/2 ------ = 1,5τzy bh

На рис. 6.4 дан общий вид эпюры τ.