16
сжатие, называют стержнем. В зависимости от вида конструкции сжатые стержни также называют стойками, колоннами, столбами.
2. Сдвиг (рис. 1.10б).
При сдвиге в поперечных сечения бруса возникают только поперечные силы Q.
Деформации сдвига возникают в заклепочных, болтовых, сварных, клеевых соединениях.
3. Кручение (рис. 1.10в).
При кручении в поперечных сечения бруса возникают только крутящие моменты Mz. Стержни, работающие на кручение, называют валами.
4. Изгиб (рис. 1.10г).
Впоперечных сечения стержня возникают изгибающие моменты и по-
перечные силы, например, Mx , Qy. Стержни, работающие на изгиб, называют
балками.
Взаключение отметим, что другие типы деформации стержней в большинстве случаев оказывается возможным рассматривать как комбинацию простых деформаций.
2.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
2.1.Статические моменты сечений
Рис. 2.1 |
Разбиваем заданную фигуру на элементарные площадки dA (рис. 1). Умножаем площадь каждой площадки на координаты их центра тяжести х и у. Интегрируя по площади сечения, в итоге получим следующие результаты:
Sx = ∫ y dA , |
S y = ∫x dA . |
(2.1) |
A |
A |
|
Sx и Sy называются статическими моментами сечения относительно осей х и у.
Для статических моментов можно указать следующие свойства: 9 статические моменты выражаются в см3, м3 и т. д.
17
9статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.
9статические моменты равны нулю относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения – центральных осей.
Рис. 2.2 Рис. 2.3
Установим зависимость между статическими моментами относительно
пары параллельных осей (рис. 2.2). |
|
|
|
|
|||||||
Sx = ∫ y1 dA ; Sx = ∫ y dA = ∫( y1 |
+a )dA = ∫ y1 dA + a ∫ |
dA = Sx |
+ a A. |
||||||||
1 |
A |
|
|
A |
|
|
A |
A |
A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выполняя аналогичные вычисления для осей у и у1 , окончательно полу- |
|||||||||||
чим |
|
Sx |
= Sx |
+ a A; |
S y = S y + b A. |
|
(2.2) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Если оси х1 и у1 проходят через центр тяжести сечения (точка С, |
|||||||||||
рис. 2.3), тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = ус, b = хс , и из полученных выше равенств будем иметь |
|||||||||||
|
|
|
|
Sx = Sx − yc A , S y = S y − xc A. |
|
||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
c |
|
|
|
Приравняв статические моменты Sxc и Syc |
нулю, получим формулы для |
||||||||||
определения положения центра тяжести сечения: |
|
|
|||||||||
|
xc = |
S y |
; |
yc = |
S |
x |
|
Sx = yc A; |
S y = xc A. |
(2.3) |
|
|
A |
A |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из полученных формул следует:
−статические моменты равны нулю относительно центральных осей;
−оси симметрии являются центральными осями.
Если сечение можно разбить на ряд простых фигур (прямоугольники, треугольники, круг, полукруг и т. д.), площади и центры тяжести которых известны, координаты центра тяжести сечения определяются по формулам:
xC = |
Σ( Аi x i ) |
; |
yC = |
Σ( Аi yi ) |
. |
|
|
||||
|
Σ Аi |
|
Σ Аi |
||
В отдельных случаях, когда заданное сечение нельзя разбить на простейшие, положение центра тяжести необходимо определять путем интегрирования.
18
2.2. Моменты инерции сечений
Для сечения, показанного на рис. 2.1, можно ввести следующие новые геометрические характеристики:
9осевой момент инерции сечения относительно оси х:
J x = ∫ y 2 dA; |
(2.4) |
A |
|
9осевой момент инерции сечения относительно оси у:
J y = ∫x 2 dA; |
(2.4*) |
A |
|
9центробежный момент инерции сечения:
J xy = ∫xy dA; |
(2.5) |
A |
|
9полярный момент инерции сечения:
J p = ∫ ρ2 dA. |
(2.6) |
Для моментов инерции можно указать следующие свойства:
9моменты инерции имеют размерность мм4, см4 и т. д.;
9осевые моменты инерции Jx, Jy и полярный момент инерции
Jp всегда положительны и не равны нулю;
9центробежный момент инерции Jxy может быть положи-
тельным, отрицательным и равным нулю;
9оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю: Jxy = 0, в дальнейшем будем называть главными осями
инерции.
Рис. 2.4
Рассмотрим сечение, у которого ось у, например, – ось симметрии
(рис. 2.4).
Центробежный момент инерции двух площадок, расположенных симметрично, равен:
dJxy = xydA – xydA = 0.
Интегрируя по площади сечения, имеем Jxy = 0.
19
Таким образом, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе являются осями симметрии, равен нулю.
Складывая осевые моменты инерции и учитывая, что ρ2 = х2 + у2 (см. рис. 2.1), получим
J x +J y = ∫ y2 dA+ ∫x2 dA = ∫(x2 + y2 )dA = ∫ ρ2 dA = J p ,
A A A A
т.е. сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей:
J x + J y = J ρ . |
(2.7) |
Осевой момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме осевых моментов инерции составляющих его частей относи-
тельно этой же оси.
Аналогично центробежный момент инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих же осей.
Полярный момент инерции сложного сечения относительно некоторой точки равен сумме полярных моментов инерции составляющих его частей
относительно этой же точки.
Следует помнить, что нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.
2.3. Моменты инерции простейших сечений
1). Осевые моменты инерции прямоугольного сечения шириной b и высотой h относительно осей симметрии прямоугольника х и у (рис. 2.5).
h/2
h
h/2
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
b/2 |
b/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dA |
H/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
y |
|
h/2 |
|
|
|
x |
|
x |
|
C |
|
H |
C |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
H/2 |
|
h/2 |
b/2 |
b/2 |
B/2 |
B/2 |
|
b |
|
B |
Рис. 2.5 |
Рис. 2.6 |
Выделим линиями, параллельными оси х, элементарную полоску высотой dy и шириной b. Площадь этой полоски dA = b dy, а координата ее цен-
20
тра тяжести – у. Пределы интегрирования: от y = - h/2 до y = + h/2. Вычислим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси симметрии х:
|
|
|
h/2 |
|
b h |
3 |
|
|||
|
|
J x = ∫ y 2 dA =b ∫ |
y 2 dy = |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
hb3 |
A |
−h/2 |
|
|
12 |
|
|||
Аналогично, J y = |
. Оси х и у – оси симметрии фигуры, поэтому Jxy = 0. |
|||||||||
12 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
4 |
|
||
Для квадратного сечения h = b = a и J x = J y = |
|
. |
||||||||
12 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3. Прямоугольный треугольник |
||||||||
2. Равнобедренный треугольник |
|
|||||||||
Jx |
= |
b h 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jy |
= h b 3 |
; |
|
|
|
|
b h 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
Jx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Jxy = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Jy = |
h b 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jxy = ± |
b 2 |
h 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Круг |
|
|
|
|
|
5. Полукруг |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Jx1 |
= |
π d 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
4r |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π d 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 π |
|||
|
|
|
|
|
|
Jy |
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π d |
4 |
|
|
Jx |
= |
|
π d 4 |
(1− |
64 |
|
) ; Jxy = 0 . |
||||||||
Jx = |
; |
|
128 |
|
|
9 π |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jy |
= |
π d 4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Jxy = 0.
Для прямоугольного коробчатого сечения (рис. 2.6) моменты инерции равны разности моментов инерции большого прямоугольника и малого прямоугольника: