- •Предисловие
- •Глава 1. Введение
- •1.1. Предмет строительной механики и ее задачи
- •1.2. Кинематический анализ сооружений
- •1.2.1. Связи и их реакции
- •1.2.2. Степени свободы и статическая определимость системы
- •1.2.3. Изменяемые системы
- •1.2.4. Способы образования и структурный анализ
- •1.2.5. Аналитическое исследование системы
- •1.3. Основные уравнения строительной механики
- •Глава 2. Расчет статически определимых стержневых систем
- •2.1. Свойства статически определимых систем
- •2.2. Внутренние усилия в рамах
- •2.2.1. Определения и порядок построения эпюр
- •2.2.2. Построение эпюр в простых рамах
- •2.2.3. Построение эпюр в составных рамах
- •2.3. Расчет плоских ферм
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Метод сечений
- •2.3.3. Метод вырезания узлов
- •2.4. Расчет трехшарнирных арок
- •2.4.1. Основные понятия
- •2.4.2. Внутренние усилия в арке
- •2.4.3. Рациональная ось арки
- •Глава 3. Определение перемещений в
- •3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу
- •3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу
- •3.3. Общие теоремы строительной механики
- •3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы
- •3.5. Интеграл Мора-Максвелла
- •3.6. Формула Верещагина
- •3.7. Примеры определения перемещений
- •Глава 4. Расчет статически неопределимых балок и рам методом сил
- •4.1. Свойства статически неопределимых систем
- •4.2. Суть метода сил. Канонические уравнения мс
- •4.3. Определение внутренних усилий
- •4.4. Проверка правильности решения
- •4.5. О выборе ос мс. Признаки ортогональности эпюр
- •4.6. Расчет симметричных систем
- •4.7. Расчет неразрезных балок
- •Глава 5. Расчет статически неопределимых арок и ферм методом сил
- •5.1. Расчет статически неопределимых ферм
- •5.2. Расчет статически неопределимых арок
- •Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений
- •6.1. Суть метода перемещений. Основная система мп
- •6.2. Канонические уравнения метода перемещений
- •6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •6.4. Общий метод вычисление коэффициентов
- •Глава 7. Понятие о расчете снс методом конечных элементов
- •7.1. Суть метода конечных элементов
- •7.2. Применение мкэ для расчета стержневых систем
- •Литература
- •Оглавление
Глава 7. Понятие о расчете снс методом конечных элементов
7.1. Суть метода конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) является обобщением рассмотренного выше метода перемещений на двух- и трехмерные системы. Он успешно применяется для расчета самых разнообразных строительных конструкций и сооружений, в том числе – тонкостенных систем и массивов.
В отличие от классических форм МС и МП МКЭ является компьютерным методом. Он появился в 60-е годы прошлого века и в настоящее время является самым распространенным методом расчета, реализованным в большинстве систем автоматизированного проектирования.
Особенность метода в том, что он позволяет решать задачи теории упругости методами строительной механики.
Реализация МКЭ включает следующие этапы:
1) Разбиение конструкции на конечные элементы с учетом ее геометрии, физических свойств материала и нагрузки;
2) Анализ отдельного конечного элемента (КЭ), в ходе которого строится матрица жесткостиКЭ – [Rэ] и определяетсявектор приведенной узловой нагрузки– {Pэ};
3) Анализ всей конструкции и формирование системы конечно-элементных уравнений:
[R] {Z} = {P} , (7.1)
где [R], {Z} и {P} – соответственно матрица жесткости, вектор неизвестных и вектор приведенной узловой нагрузки всей системы;
4) Решение системы уравнений и определение по вектору {Z} напряжений и усилий в отдельных конечных элементах.
Отметим, что под конечным элементом понимают часть конструкции, которая обладает всеми ее физическими свойствами и имеет несколько фиксированных узловых точек с введенными в них связями, которыми КЭ связаны друг с другом.
Уже к 70-м годам прошлого века была создана хорошо апробированная система конечных элементов, приспособленных для решения самых разнообразных задач.
При решении плоской задачи и задачи изгиба для пластин и плит применяют треугольные и прямоугольные КЭ с различным числом степеней свободы. Для решения трехмерных задач применяют КЭ в виде параллелепипеда или тетраэдра. Разработаны конечные элементы для решения осесимметричных задач и целое семейство плоских и криволинейных КЭ для расчета оболочек.
МКЭ прекрасно приспособлен для решения практических задач и позволяет с высокой степенью точности аппроксимировать границу области, занятой телом. Помимо строительной механики и теории упругости МКЭ находит применение в решении широкого круга задач математической физики.
7.2. Применение мкэ для расчета стержневых систем
Расчет стержневых систем с помощью МКЭ приводит к тем же уравнениям, что и обычный метод перемещений, хотя подходы к их построению несколько отличаются по форме.
При этом КЭ рамы с 6 степенями свободы имеет на концах два узла, в каждом из которых введено по три связи – две линейных и одной моментной.
Матрица жесткости такого КЭ имеет 6 порядок и ее элементами являются реакции rij в шести введенных связях от единичных смещений этих связей.
Компонентами вектора приведенной узловой нагрузки являются взятые со знаком минус реакции во введенных связях от приложенной к КЭ нагрузки, которые, в отличие от МП будем обозначать неRip0, аrip0:
{Pэ}= – [r1p0,r2p0, … ,r6p0]Т,
где индексом «т» обозначена операция транспонирования.
Балочный конечный элемент, на примере которого мы рассмотрим процедуру анализа, имеет только четыре степени свободы. В качестве неизвестных такого КЭ выбирают неизвестные прогибы и углы поворотов в начальном и конечном сечениях, как и в обычном методе перемещений (рис. 7.1, а).
Анализ КЭ заключается в определении реакций во введенных связях {Sэ}= [S1,S2,S3,S4]Тот кинематических воздействий {Zэ}= [Z1,Z2,Z3,Z4]Ти от действующей местной нагрузки. Первая зависимость имеет вид:
{Sэ} = [Rэ]{Zэ}.
Для построения матрицы жесткости[Rэ] рассмотрим КЭ при единичных кинематических воздействиях (рис. 7.1, б), объединив соответствующие имфункции формыв матрицу-строку:
[N] = [N1(x), N2(x), N3(x), N4(x)].
Этим функциям формы соответствуют уже известные эпюры моментов, приведенные на рис. 6.4 и 7.1, в, которые также объединим в вектор:
{M} = [M1(x), M2(x), M3(x), M4(x)]Т.
Учитывая, что для принятой системы координат зависимость между изгибающими моментами и прогибами имеет вид
M(x) = –EJ v''(x),
можно записать:
{M} = –EJ[N'']Т. (7.2)
Воспользовавшись соотношением (6.4):
rij = rji=(`Mi0 ·`Mj0/EJ )ds,
получим с учетом (7.2):
[Rэ] = (1/ EJ)∫{M}{M}Тdx=EJ ∫ [N'']Т[N''] dx. (7.3)
Для построения вектора приведенной узловой нагрузки учтем, что на основании принципа суперпозиции уравнение изогнутой оси КЭ можно представить в виде:
v(x) =Σ Ni (x) · Zi = [N]{Zэ}. (7.4)
Рис. 7.1
Поэтому, дополнив соотношение (6.5) работой распределенной нагрузки, приложенной к КЭ, и сменив обозначения, получим:
rip0 = – [ Pk · Nik + ∫ q(x) · Ni (x) dx].
Таким образом, искомый вектор приведенной узловой нагрузки равен:
{Pэ}= Pk · [Nk]Т+∫ q(x) [N]Т dx. (7.5)
Как видим, анализ КЭ сводится в конечном итоге к построению матрицы функций формы. Помимо методов, упомянутых в параграфе 6.3, эти функции можно, например, построить следующим способом.
Представим уравнение изогнутой оси КЭ в виде полинома:
v (x) = [H] {a}, (7.6)
где [H] = [1, x, x2, x3], а {a} = [a1, a1, a1, a1]Т.
Приравнивая (7.4) и (7.6) в узловых точках КЭ, то есть x1 = 0 иx2 =l, получим:
Z1 = v (0) = 1 + a1x1+ a2x12+ a3x13 ;
Z2 = v'(0) = a1+2a2x1+ 3a3x12 ;
Z3 = v (l) = 1 + a1x2 + a2x22 + a3x23 ;
Z4 = v'(l) = a1 +2a2x2+ 3a3x22,
или иначе
{Zэ} = [L] {a},
где [L] = [[H(x1)]T, [H'(x1)]T, [H(x2)]T, [H'(x2)]T]Т.
Обратная зависимость
{a} = [L]–1{Zэ}
после подстановки в (7.6) приводит с учетом (7.4) к искомой формуле:
[N] = [H] [L]–1. (7.7)
В скалярной форме последняя зависимость имеет вид:
N1(x) = 1 – 3ξ2+ 2 ξ3;
N2(x) =l(ξ– 2 ξ2+ ξ3);
N3(x) = 1 – 3η 2+ 2η 3;
N4(x) = l(–η+ 2η 2–η 3),
где ξ=x/l,η= (l–x)/l.
Подставляя (7.7) в (7.3), получим искомую матрицу жесткости КЭ балки:
[Rэ] = EJ ∫ [N]T[N]dx = (EJ/l).
Вектор приведенной узловой нагрузки находим по формуле (7.5). Для постоянной равномерно распределенной нагрузки q(x) =qон имеет вид:
{Pэ} = [P1, P2, P3, P4]Т= (ql/12)[ 6, l, 6, –l ]Т.
Примечание.
Двумерным аналогом балочного КЭ является прямоугольный КЭ с 12 степенями свободы для расчета плит, изогнутая поверхность которого аппроксимируют полиномом
w(x,y) = [H]{a},
где [H] = [1, x, y, x2, xy, y2, x3, x2y, xy2, y3, x3y, xy3].
В каждой из четырех узловых точек такого КЭ, расположенных в его вершинах, вводят по три связи: линейную, препятствующую вертикальным перемещениям в направлении оси Oz, и две моментные в направлениях осей Ox и Oy.
Этот элемент, как показали проведенные исследования, можно с успехом применять даже для расчета цилиндрических оболочек, если дополнительно ввести по две линейные связи в каждом узле, препятствующие его смещениям вдоль осей Ox и Oy локальной системы координат.