- •Предисловие
- •Глава 1. Введение
- •1.1. Предмет строительной механики и ее задачи
- •1.2. Кинематический анализ сооружений
- •1.2.1. Связи и их реакции
- •1.2.2. Степени свободы и статическая определимость системы
- •1.2.3. Изменяемые системы
- •1.2.4. Способы образования и структурный анализ
- •1.2.5. Аналитическое исследование системы
- •1.3. Основные уравнения строительной механики
- •Глава 2. Расчет статически определимых стержневых систем
- •2.1. Свойства статически определимых систем
- •2.2. Внутренние усилия в рамах
- •2.2.1. Определения и порядок построения эпюр
- •2.2.2. Построение эпюр в простых рамах
- •2.2.3. Построение эпюр в составных рамах
- •2.3. Расчет плоских ферм
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Метод сечений
- •2.3.3. Метод вырезания узлов
- •2.4. Расчет трехшарнирных арок
- •2.4.1. Основные понятия
- •2.4.2. Внутренние усилия в арке
- •2.4.3. Рациональная ось арки
- •Глава 3. Определение перемещений в
- •3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу
- •3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу
- •3.3. Общие теоремы строительной механики
- •3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы
- •3.5. Интеграл Мора-Максвелла
- •3.6. Формула Верещагина
- •3.7. Примеры определения перемещений
- •Глава 4. Расчет статически неопределимых балок и рам методом сил
- •4.1. Свойства статически неопределимых систем
- •4.2. Суть метода сил. Канонические уравнения мс
- •4.3. Определение внутренних усилий
- •4.4. Проверка правильности решения
- •4.5. О выборе ос мс. Признаки ортогональности эпюр
- •4.6. Расчет симметричных систем
- •4.7. Расчет неразрезных балок
- •Глава 5. Расчет статически неопределимых арок и ферм методом сил
- •5.1. Расчет статически неопределимых ферм
- •5.2. Расчет статически неопределимых арок
- •Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений
- •6.1. Суть метода перемещений. Основная система мп
- •6.2. Канонические уравнения метода перемещений
- •6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •6.4. Общий метод вычисление коэффициентов
- •Глава 7. Понятие о расчете снс методом конечных элементов
- •7.1. Суть метода конечных элементов
- •7.2. Применение мкэ для расчета стержневых систем
- •Литература
- •Оглавление
2.4.3. Рациональная ось арки
Формула (2.2) показывает, что при заданной нагрузке изгибающие моменты в арке можно уменьшить вплоть до нуля, если соответствующим образом подобрать очертание ее оси.
Определение. Рациональной называется такая арка, изгибающие моменты в которой равны нулю.
Пусть арка с пролетом l и стрелой подъема fC загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q(x).
Определим очертание рациональной оси такой арки, воспользовавшись соотношением (2.2). Полагая в нем M(x) = 0 , получим:
M(х)Б - H×f(x) = 0,
откуда найдем искомое уравнение:
y = f(x) = M(х)Б/ H.
Подставляя сюда выражение изгибающего момента в простой двухопорной балке, загруженной равномерно распределенной нагрузкой:
M(х)Б = (ql/2)x qx2/2
и учитывая, что в силу (2.1) H = МСБ/fС = (ql2)/(8fС), получим уравнение рациональной оси арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой:
y = f(x) = (4fС/l2)(xl x2).
Как видим, такая арка имеет параболическое очертание.
Примечания:
1. Глобальная система координат Оху, в которой мы рассматриваем арку, не совпадает с локальной системой координат, введенной в § 1.3, поэтому приведенные там основные уравнения строительной механики, включая дифференциальные зависимости Журавского (1.10), в нашем случае выполняться не будут. В частности у рассмотренной арки рационального очертания поперечная сила будет отлична от нуля, несмотря на равенство нулю изгибающего момента.
Это обстоятельство не препятствует определению внутренних усилий и расчету данного класса статически определимых систем на прочность.
2. Что касается перемещений, то в следующей главе будет показано, как перемещения в арке и в других стержневых системах можно найти, не обращаясь непосредственно к основным уравнениям строительной механики.
3. В этом пособии мы ограничимся рассмотрением эпюр внутренних усилий в арке как функций абсциссы х, а не длины дуги s. Отметим, что при этом, в отличие от рам, ось эпюры не совпадает с осью арки.
Глава 3. Определение перемещений в
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Если для расчета на прочность достаточно знания внутренних усилий, то расчет на жесткость требует умения определять перемещения системы. Это необходимо и для расчета на прочность статически неопределимых систем.
Напомним, что в сопромате мы находили линейные v и угловые перемещения балок с помощью интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Применить этот метод для определения перемещений в рамах практически невозможно: даже для простейшей П-образной рамы, показанной на рис. 2.6, это потребует решения трех дифференциальных уравнений – по одному для каждого участка рамы и последующей стыковки полученных решений с учетом условий сопряжения в ее узлах. С увеличением числа стержней у рамы трудности будут быстро нарастать.
К счастью, для решения большинства задач в механике есть два подхода: первый основан на решении дифференциального уравнения, а второй – часто более эффективный – связан с использованием понятий работа и энергия, к рассмотрению которых мы сейчас и приступаем.