2.4. Расчет трехшарнирных арок
2.4.1. Основные понятия
Трехшарнирная арка представляет собой составную систему, образованную из двух дисков, прикрепленных к земле опорными шарнирами А и В и соединенных друг с другом ключевым шарниром С (рис. 2.9, а).
В дальнейшем ограничимся рассмотрением арок, загруженных вертикальной нагрузкой, у которых опорные шарниры находятся на одной горизонтали, а ключевой шарнир расположен симметрично относительно опор.
Расстояние l между опорами арки называется ее пролетом, а высота fС, на которой расположен соединительный шарнир С – стрелой подъема арки.
Арка является типичным представителем распорных систем, у которых под действием приложенной вертикальной нагрузки появляются не только вертикальные, но и горизонтальные составляющие опорных реакций, называемые распором (рис. 2.9, б).
Определение опорных реакций арки не отличается от определения опорных реакций трехшарнирной рамы (пример 2.5) или арочной фермы (пример 2.7):
MА = 0; VВ = (1/l) Pi ai ;
MВ = 0; VА = (1/l) Pi (l ai);
X = 0; HA = HB = H;
MC(AB) = 0; H = HA = (1/fС)[VА(l/2) Pi ( l/2 ai)].
Каждой арке можно поставить в соответствие балку с пролетом, равным пролету арки, которая загружена той же нагрузкой, что и арка (рис. 2.9, в). Очевидно, что реакции такой балки будут равны вертикальным реакциям арки:
VАБ = VА; VВБ = VВ,
поэтому последнее выражение для распора арки можно записать в виде:
H = MСБ/fС , (2.1)
где MСБ = [VА(l/2) Pi(l/2 ai)] балочный изгибающий момент под шарниром С, то есть изгибающий момент в сечении x = l/2 соответствующей балки.
Чтобы выяснить, в чем состоит преимущество арки перед соответствующей ей балкой, перейдем к определению внутренних усилий в арке.
2.4.2. Внутренние усилия в арке
Рассмотрим арку в системе координат Оху, где начало отсчета связано с опорой А (рис. 2.9, г) и обозначим через y = f(x) функцию, описывающую очертание оси арки. Проведем сечение на расстоянии х от этой опоры и рассмотрим часть арки слева от сечения.
Рис.2.9
Введем локальную систему отсчета с ортами N и nQ, и обозначим через угол, который орт составляет с осью Ох. В отличие от принятого ранее правила (§ 2.2.1) положительным будем считать момент, соответствующий растянутым нижним волокнам арки, то есть так, как принято в сопромате. Это сделано для удобства сравнения изгибающего момента в арке с изгибающим моментом в соответствующей балке.
Из условия равновесия левой части арки получим:
M (лев) = 0; M(x) = [VАx Pi ( x ai)] H f(x),
или, иначе:
M(x) = M(х)Б Hf(x) , (2.2)
где M(х)Б = [VАxPi(x ai)] балочный изгибающий момент в сечении x.
Последняя формула означает, что при одинаковой нагрузке изгибающие моменты в арке меньше изгибающих моментов в балке соответствующего пролета на величину H f(x), что наглядно показано на рис. 2.9, д, е.
Это обстоятельство позволяет применять арки для перекрытия больших пролетов – порядка десятков метров. При этом отношение высоты сечения такой арки к длине перекрываемого пролета, как правило, не превышает 1/100. Ни фермы, ни балки не позволяют достичь такого результата.
Для определения поперечной силы в арке составим уравнение:
Sn(лев) = 0; Q(x) = (VА Pi)cos Hsin,
или, иначе
Q(x) = Q Б (x)cos Hsin , (2.3)
где QБ (x) = VА Pi поперечная сила в соответствующей балке.
Таким образом, при одинаковой нагрузке поперечная сила в арке меньше поперечной силы в балке соответствующего пролета.
Чтобы определить продольную силу составим уравнение:
(лев) = 0; N(x) = [(VА Pi) sin + Hcos].
Найденную продольную силу также можно представить в виде:
N(x) = [QБ (x)sin + Hcos]. (2.4)
Последняя формула показывает, что уменьшение изгибающего момента и поперечной силы в арке по сравнению с соответствующей балкой достигается за счет появления продольной силы, которая, как следует из (2.1) будет особенно значительной для арок с небольшим отношением fC /l.
Таким образом, в арке, как и в раме, в общем случае появляются все три составляющих внутренних усилий: M, Q и N .