2.3. Расчет плоских ферм

2.3.1. Основные понятия

Фермой называется строительная конструкция, образованная из прямолинейных стержней, соединенных идеальными (то есть без трения) шарнирами.

Если нагрузка, приложена только в узлах фермы, образованных этими шарнирами, все стержни будут находиться в условиях центрального растяжения или сжатия.

Напомним, что из внутренних усилий для этого вида напряженно-деформированного состояния отличной от нуля может быть только продольная сила: M = 0, Q = 0, N  0.

В рамках строительной механики расчет фермы сводится к определению усилий в ее стержнях, и в дальнейшем, при необходимости, к построению эпюры N.

Рассмотрим два простейших метода определения этих усилий.

2.3.2. Метод сечений

Суть этого метода заключается в следующем: проводят сечение, разбивающее ферму на две части и рассматривают равновесие одной из частей под действием: активных сил, опорных реакций и усилий в разрезанных стержнях как произвольной плоской системы сил.

Для такой системы можно составить три уравнения равновесия, поэтому метод удобен, когда сечение пересекает не более трех стержней.

Если все рассеченные стержни при этом непараллельны, то для определения усилий целесообразно составить уравнения:

SM₁ = 0; SM₂ = 0; SM₃ = 0,

взяв в качестве моментных точки, где пересекаются линии действия реакций двух разрезанных стержней из трех, а если два стержня параллельны, то уравнения:

SM₁ = 0; SM₂ = 0; SY = 0,

где ось Oy перпендикулярна этим стержням.

Рассмотренный способ определения усилий можно применять и в том случае, если сечение пересекает более трех стержней, однако при этом каждое из усилий уже не удается найти независимо от остальных, поскольку приходится рассматривать равновесие обеих частей фермы, а иногда  проводить дополнительные сечения.

При решении все стержни фермы рекомендуется считать растянутыми, направляя усилия от узлов.

Пример 2.6. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.7, а).

Рис.2.7

Решение. Определяем опорные реакции:

M_А = 0;  R_B = 2P;

M_B = 0;  R_A = P;

Проверка:

Y = R_A + R_B  3P = 0.

Для определения усилий N_2-3 и N_2-4 проведем сечение I-I (рис. 2.7, б) и рассмотрим равновесие части фермы, взятой слева от этого сечения. Помимо опорной реакции R_A к ней будут приложены неизвестные усилия в разрезанных стержнях: N_2-4, N_2-3 и N_1-3 (рис. 2.7, в).

Чтобы найти усилие N_2-4 составим уравнение M₃^(лев) =0, выбрав в качестве моментной точку, где пересекаются линии действия N_2-3 и N_1-3:

R_A d  N_2-4  d = 0;  N_2-4 =  R_A =  P.

Поскольку стержни 2-4 и 3-5 параллельны и перпендикулярны оси Оу, для нахождения N_2-3 составляем уравнение:

Y ^{( лев)} = R_A  N_2-3 = 0;  N_2-3 = R_A = P.

Для определения усилия в стержне 3-4 проводим дополнительно сечение II-II, пересекающее этот стержень (рис. 2.7, б) и рассматриваем равновесие части фермы, расположенной слева от этого сечения (рис. 2.7, г):

Y ^{( лев)} = R_A + N_3-4sin45 = 0;  N_3-4 =  R_A / sin45 = P .

То же самое усилие можно найти, рассматривая равновесие части фермы не слева, а справа от этого сечения:

Y ^{( пр)} = R_В  3P + N_4-3sin45 = 0;  N_4-3 = N_3-4 = P . 