3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы

Рассмотрим два состояния плоской стержневой системы, в качестве представителя которой выберем раму.

Обозначим через M₁, Q₁, N₁ внутренние силы первого, а через M₂, Q₂, N₂ – внутренние силы второго состояния. Последним будут соответствовать деформации κ₂, g₂, e₂ и перемещения u₂, v₂, q₂ , связанные зависимостями из §1.3:

dN₂/dx = – q_x; ü

dQ₂/dx = q_y; ý (1.10¢)

dM₂/dx = Q₂ . þ

κ ₂ = dq₂/dx; ü

g₂ = q₂ – dv₂/dx; ý (1.11¢)

e₂ = du₂/dx . þ

κ ₂ = M₂/EJ; ü

g₂ = mQ₂/GF; ý (1.12¢)

e₂ = N₂/EF. þ

Напомним, что по отношению к элементу рамы длиной dx внутренние силы, несмотря на название, являются такими же внешними, как и равнодействующая распределенной нагрузки (рис. 3.10, а).

Вычислим работу внутренних сил M₁, Q₁, N₁ на перемещениях второго состояния системы (рис. 3.10, б):

dA₁₂ =  N₁u₂ + (N₁+ dN₁)(u₂ + du₂) + Q₁v₂  (Q₁+ dQ₁)(v₂ + dv₂)  M₁q₂ +

+(M₁+ dM₁)( q₂+dq₂) +q_xdx(u₂ + du₂/2) + q_ydx(v₂ + dv₂/2) = N₁u₂ + N₁u₂ +

+ N₁du₂ + dN₁u₂ + dN₁du₂ + Q₁v₂  Q₁v₂  Q₁dv₂  dQ₁v₂  dQ₁dv₂  M₁q₂+

+ M₁q₂ + M₁dq₂ + dM₁q₂ +dM₁ dq₂ + q_xdx(u₂+du₂/2) + q_ydx(v₂+dv₂/2). (3.12)

Рис.3.10

Пренебрегая в (3.12) слагаемыми, подчеркнутыми сплошной чертой, как бесконечно малыми второго порядка и воспользовавшись (1.10) для членов, подчеркнутых волнистой линией, получим:

dA₁₂ = N₁du₂ - Q₁dv₂ + M₁dq₂ – q_xdxu₂ + q_xdxu₂ + q_xdxdu₂/2 – q_ydxv₂ +

+ q_ydxv₂ + q_ydxdu₂/2 + Q₁dxq₂. (3.13)

Снова, отбрасывая в последнем выражении слагаемые подчеркнутые сплошной чертой как бесконечно малые второго порядка и используя (1.11) для второго члена, подчеркнутого волнистой линией, будем иметь:

dA₁₂ = N₁e₂dx + M₁κ ₂dx - Q₁(q₂-g₂)dx + Q₁dxq₂ =

= (M₁κ ₂ + Q₁g₂ + N₁e₂)dx. (3.14)

Наконец, выражая в (3.14) деформации через внутренние усилия с помощью (1.12), найдем для элемента рамы длиной ds:

dA₁₂ = ( M₁M₂/EJ + mQ₁Q₂/GF + N₁N₂/EF ) ds.

Полная работа получается интегрированием по длине стержня и суммированием по всем участкам рамы. С учетом знака получим окончательное выражение работы внутренних сил первого состояния на перемещениях второго состояния:

W₁₂ =  A₁₂ =   ( M₁M₂/EJ + mQ₁Q₂/GF + N₁N₂/EF ) ds. (3.15)

3.5. Интеграл Мора-Максвелла

С помощью (3.15) нетрудно получить формулу для определения перемещения i-ой точки упругой системы от приложенной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы: первое – от заданной нагрузки и второе – от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке i в направлении искомого линейного или, соответственно, углового перемещения – (рис. 3.11). Обычно первое из этих состояний называют действительным, а второе – возможным или виртуальным.

Рис.3.11

Обозначим через _ip искомое перемещение точки i – в нашем примере на рис. 3.11, а – это вертикальное линейное перемещение.

Пусть M_p, Q_p, N_p – внутренние усилия первого состояния, а`M<sub>i</sub>, `Q_i, `N_i – внутренние силы второго состояния.

Воспользовавшись теоремой Бетти:

A₁₂ = A₂₁,

где

A₂₁ = P_i_ip = 1_ip = _ip,

а

A₁₂ = – W₁₂,

получим с помощью (3.15) искомую формулу для определения перемещений, которая называется интегралом Мора-Максвелла:

_ip =  ( M_p`M<sub>i</sub> /EJ + mQ<sub>p</sub>`Q_i /GF + N_p`N_i /EF )ds. (3.16)

Таким образом, для определения линейного (углового) перемещения точки i упругой системы в заданном направлении от заданной нагрузки необходимо:

– построить эпюры M_p, Q_p, N_p в заданной системе от заданной нагрузки;

– построить эпюры `M<sub>i</sub>, `Q_i, `N_i от единичной силы (единичного момента), приложенной в точке i в направлении искомого перемещения;

– вычислить интеграл (3.16).

Отметим, что перемещения в балках и рамах определяются в основном изгибными деформациями, поэтому для таких систем вместо (3.16) можно воспользоваться формулой:

_ip =  ( M_pM_i /EJ)ds . (3.17)

Наоборот, в фермах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, поэтому перемещения здесь полностью определяются продольными деформациями:

D_ip = ò (N_p`N<sub>i</sub> /EF ) ds=S(N<sub>pk</sub> `N_ik /EF_k)l_k, (3.18)

где l_k и EF_k – соответственно длина и продольная жесткость k-го стержня фермы.

Примечания:

1. Вычисление интеграла (3.17) условно называют перемножением эпюр M_p иM_i и записывают это в виде: _ip = (M_p M_i).

2. При вычислении перемещений, как правило, пренебрегают деформациями сдвига.

3. При выводе формулы (3.16) нигде не предполагалось, что заданная система является статически определимой, поэтому эта формула верна как для СОС, так и для СНС. Тем не менее, в названии главы фигурируют только СОС поскольку, во-первых, пока в нашем распоряжении нет удобного метода определения внутренних усилий в СНС, а во-вторых, для последних систем формулу (3.16) можно упростить.