5.2. Расчет статически неопределимых арок

Простейшим примером таких систем является двухшарнирная арка, у которой в отличие от рассмотренной в §2.4 трехшарнирной арки отсутствует ключевой шарнир (рис. 5.2, а).

Рис.5.2

Основная система для ее расчета может быть получена введением ключевого шарнира, или устранением горизонтальной связи на одной из опор и заменой ее неизвестным распором H = X₁ (рис. 5.2, б). Отметим при этом, что вертикальная связь является безусловно необходимой, поскольку ее устранение приводит к мгновенно изменяемой ОС.

Коэффициент d₁₁ и свободный член D_1p⁰ в каноническом уравнении метода сил:

d₁₁ X₁ + D_1p⁰ = 0; (5.4)

следует вычислять, учитывая изгибающие моменты и продольные силы и пренебрегая, как обычно, влиянием поперечных сил:

₁₁ =  (M₁⁰M₁⁰ /EJ) ds +  (N₁⁰N₁⁰ /GF) ds, (5.5)

D_1p⁰ =  (M₁⁰ M_p⁰ /EJ) ds +  (N₁⁰ N_p⁰ /GF) ds . (5.6)

Для определения соответствующих усилий надо рассмотреть взятую слева от сечения с абсциссой x часть арки, загруженной вначале силой X₁ = 1, а затем  заданной нагрузкой (рис. 5.2, в, г).

В первом случае, из условий равновесия арки в целом мы найдем опорные реакции: H_A = 1, V_A = 0, а затем, рассматривая равновесие ее отсеченной части, так же, как в § 2.4.2 определим усилия:

M₁⁰(x) = 1f (x); `Q ₁⁰ (x) = 1sin;N₁⁰(x) = 1cos. (5.7)

Во втором случае опорные реакции арки, загруженной заданной нагрузкой, равны: H_A = 0, V_A = V_A^Б, а ее внутренние усилия:

M_p⁰(x) = M ^Б (x); Q_p⁰(x) = Q ^Б(x) cos; N_p⁰ =  Q ^Б(x)sin. (5.8)

Подставляя (5.5)  (5.8) в (5.4) получим:

X₁ = H =  D_1p⁰ /d₁₁ = , (5.9)

после чего внутренние усилия в арке можно найти по формулам (4.7) :

M_p = M_p⁰ +`M₁⁰X₁;

Q_p = Q_p⁰ +`Q₁⁰X₁ ;

N_p = N_p⁰ +`N₁⁰X₁.

Если в последние формулы подставить соотношения (5.7) и (5.8), то нетрудно убедиться, что мы придем к выражениям (2.2)  (2.4) для определения внутренних усилий в статически определимой трехшарнирной арке:

M_p = M ^Б (x)  Hf (x);

Q_p= Q ^Б (x)cos  Hsin;

N_p=  Q ^Б (x)sin  Hcos.

Этим и определяется удобство основной системы, выбранной для расчета.

Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений

6.1. Суть метода перемещений. Основная система мп

Суть метода перемещений (МП) рассмотрим на примере расчета рамы. Под действием приложенной нагрузки рама деформируется, а ее узлы получают линейные _i и угловые _i перемещения (рис. 6.1).

Идея МП заключается в том, чтобы выбрать эти перемещения _i и _i в качестве неизвестных.

Для упрощения расчета будем, как обычно, пренебрегать влиянием продольных сил на деформации. Тогда в нашем примере все линейные перемещения узлов будут равны: _i =  .

В общем случае для определения числа неизвестных линейных перемещений  n_л нужно во все жесткие узлы рамы, включая опорные, ввести шарниры, а затем подсчитать число степеней свободы полученной шарнирно-стержневой системы по формуле (1.3):

n_л = 2У  С  С_О.

При этом число n_л будет равняться числу дополнительных линейных связей, необходимых для превращения полученной системы в геометрически неизменяемую.

Число неизвестных угловых перемещений _i равняется, очевидно, числу незакрепленных жестких узлов рамы  n_у .

Общее число неизвестных метода перемещений n = п_у + n_л. Таким образом, в рассматриваемом примере n = 3 + 1 = 4.

В дальнейшем все линейные _i и угловые _i перемещения будем обозначать одинаково  Z_i.

Рис. 6.1

Основная система МП образуется из заданной системы путем введения дополнительных связей, препятствующих угловым и линейным смещениям ее узлов.

Например, для рамы на рис. 6.2, а основная система получается наложением двух дополнительных связей (рис. 6.2, б). При этом первая связь является моментной и не препятствует линейному смещению соответствующего узла рамы. Для обозначения таких связей на схемах применяют также обозначения, показанные на рис. 6.2, в.

Введение связей превращает раму в совокупность однотипных элементов с одним или двумя жестко защемленными концами, для которых известны готовые решения (рис. 6.2, г).

Рис. 6.2