3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу

Рассмотрим точку M, которая перемещается по кривой АВ. Пусть P – сила, приложенная к точке, а ds – вектор элементарного перемещения, направленный по касательной к ее траектории (рис. 3.1).

Рис.3.1

Определение. Элементарной работой силы P называется скалярное произведение вектора силы и вектора элементарного перемещения:

dA(P) = (P ds) = Pcos ds, (3.1)

где  – угол между векторами P и ds.

Работа силы на конечном перемещении определяется как интеграл от элементарной работы силы:

A(P) = (P ds) = Pcos ds . (3.2)

Рассмотрим частные случаи применения этих формул.

Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении. Пусть вектор силы P остается постоянным по модулю и по направлению и приложен к телу, перемещающемуся поступательно на расстояние S (рис. 3.2).

Рис.3.2

В соответствии с формулой (3.2) работа силы будет равна:

A (P) =Pcos ds = PS cos . (3.3)

Очевидно, что:

 > 0, если 0  < /2;

A (P)  = 0, если  = /2;

 < 0, если /2 <   .

Отметим, что работа силы равна нулю, если сила перпендикулярна к перемещению точки ее приложения.

Работа силы при вращении тела. Рассмотрим тело, закрепленное на оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и проходящей через центр О. Элементарная работа силы P, приложенной в точке А этого тела, при его повороте на угол d (рис. 3.3) будет равна:

dA(P) = Pcos ds = PcosOAd = M₀ (P) d.

Если вместо силы P к вращающемуся телу приложить момент M, результат не изменится. В самом деле, этот момент можно заменить парой сил (P, P) с плечом h = OA cos, равных по модулю P = P= M/h, где сила P приложена в точке A, а P– в центре О. Итак, элементарная работа сил при вращении тела равна:

dA = M₀ dj, (3.4)

где M₀ – главный момент сил, приложенных к этому телу.

Рис.3.3

Примечания:

1. В самом общем случае можно рассмотреть движение в плоскости чертежа незакрепленного тела, загруженного произвольной системой сил. Приводя эти силы к произвольному центру O этого тела, то есть, заменяя их главным вектором R₀ и главным моментом M₀, мы получим, что элементарная работа сил, приложенных к диску, при его перемещении будет равна:

dA = ( R₀ds₀) + M₀ d,

где ds₀ – элементарное перемещение центра О, а d – элементарный поворот тела.

2. Работа момента (или пары сил), приложенных к твердому телу, движущемуся поступательно, то есть без вращения, равна нулю.

3. Размерность работы в соответствии с (3.3) равна произведению размерности силы на размерность перемещения:

A = P S = Н м = Дж.

3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу

Работа упругой силы. Простейшей моделью деформируемого тела является обыкновенная пружина. Пусть ее левый конец закреплен, а правый – совпадает с началом системы координат Ox (рис. 3.4, а). Чтобы растянуть пружину с жесткостью c на величину x, надо приложить внешнюю упругую силу P = cx , которая равна по модулю и направлена противоположно внутренней упругой силе пружины F_УПР =  P (рис. 3.4, б).

Вообще, в механике упругой называется сила, модуль которой пропорционален величине смещения точки ее приложения.

В нашем случае работа упругой силы P будет равна:

A (P) = Pdx = cxdx = cx²/2 = Px/2.

Итак, работа упругой силы равна половине произведения максимального значения силы на величину вызванного ею перемещения:

A (P) = Px/2. (3.5)

Рис.3.4

Отметим, что работа внешней упругой силы положительна, а работа внутренней упругой силы F_УПР =  P отрицательна: A (F_УПР) =  A (P).

В дальнейшем работу внутренних сил деформируемого тела будем обозначать буквой W, а букву A сохраним для обозначения работы приложенных к нему внешних сил. При этом A =  W.

Работа сил при деформации упругого тела. Рассмотрим в качестве такого тела простую двухопорную балку с зафиксированными на ней точками i и j (рис. 3.5, а).

Рис.3.5

Приложим в точке i упруго или статически силу P_i – эти термины означают, что в процессе загружения балки сила изменяет свою величину от нуля до максимального значения, которому соответствует изогнутая ось балки, показанная на рис. 3.5, а пунктиром. Обозначим через _ii и _ji перемещения точек i и j , вызванные силой P_i.

Зафиксируем силу P_i и дополнительно приложим к балке в точке j – также статически силу P_j. Под действием последней точка i получит дополнительное перемещение _ij, а точка j – дополнительное перемещение _jj (рис. 3.5, б).

Подсчитаем работу, совершенную этими силами при деформации балки:

A (P_i) =1/2 P_iD_ii+ P_iD_ij; (3.6)

A (P_j) =1/2 P_j_jj. (3.7)

Отметим, что на первом этапе загружения сила P_i является упругой, а балка играет роль пружины, поэтому первое слагаемое в (3.6) вычисляется по формуле (3.5). На втором этапе загружения P_i = const и ее работа вычисляется по формуле (3.3).

Таким образом, работа постоянной силы P_i на перемещении _ij , вызванном «чужой» силой P_j вычисляется без коэффициента 1/2.

Примечания:

1. При деформации балки точки, лежащие на ее оси, получают не только линейные перемещения _i (совпадающие с прогибами v_i), но угловые _i, поэтому если вместо упругой силы P_i в этой точке приложить упругий момент M_i, формула (3.6) примет вид:

A(M_i) = 1/2M_i_ii +M_i_ij ,

где _ii – угол поворота сечения в точке i, вызванного упругим моментом M_i, а _ij – угол поворота сечения в точке i, вызванного силой P_j.

2. Напомним, что в общем случае перемещение всякой точки стержневой системы определяется тремя компонентами: u_i, v_i, _i – смотри уравнения 1.11 в §1.3. Обозначения _i , введенные в этом параграфе являются традиционными в строительной механике и применяются как для линейных, так и для угловых перемещений. Таким обобщенным перемещениям _i соответствуют обобщенные силы: обычные P для линейных перемещений и моменты M – для угловых. При этом произведение обобщенной силы на обобщенное перемещение имеет размерность работы.

3. Как известно из курса физики, работа, совершенная внешними силами при деформировании упругого тела, равна потенциальной энергии, приобретенной этим телом.