4.3. Определение внутренних усилий
После решения системы канонических уравнений (4.6) и определения реакций лишних связей X1, X2, …, Xn, внутренние усилия можно найти как в любой статически определимой системе, загруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями этих связей. Однако, учитывая, что в процессе решения задачи мы построили эпюры `M10, `M20,…, `Mn0 – от единичных значений неизвестных и эпюру Mp0 – от заданной нагрузки, удобнее воспользоваться принципом суперпозиции и вычислить эти внутренние усилия по формулам:
Mp = Mp0 + `Mi0Xi; ü
Qp = Qp0 + `Qi0Xi ; ý (4.7)
Np = Np0 + `Ni0Xi; þ
где Mp, Qp, Np – соответствующие эпюры в заданной СНС от заданной нагрузки; Mp0, Qp0, Np0– те же эпюры в ОС МС от заданной нагрузки; `Mi0, `Qi0, `Ni0 – эпюры тех же усилий в ОС МС от Xi = 1.
Рис.4.5
Поскольку при расчете рам учитываются только изгибные деформации, которым соответствуют изгибающие моменты, по формулам (4.7) определяют лишь первое из внутренних усилий – Mp. Эпюру Qp удобнее построить по эпюре Mp, используя дифференциальную зависимость Qp = dMp/dx, а эпюру Np – по эпюре Qp, рассматривая равновесие вырезанных узлов рамы.
Рассмотрим такую процедуру на примере фрагмента рамы, приведенного на рис. 4.6, а.
Пусть на вертикально расположенных участках k-i и j-l эпюра Mp линейна и знакопостоянна, а на горизонтальном участке i-j, загруженном равномерно распределенной нагрузкой, представляет собой параболу.
Очевидно, что на последнем участке рамы эпюра Mp не отличается от эпюры моментов в простой двухопорной балке соответствующего пролета, загруженной равномерно распределенной нагрузкой и концевыми моментами (рис. 4.6, б) и ее в общем случае можно представить в виде суммы:
Mp (x) = Mp0 (x) + Mpк(x), (4.8)
где Mp0 (x) – эпюра от собственной нагрузки внутри пролета, а Mpк(x) – эпюра от концевых моментов, показанная пунктиром на рис. 4.6, в.
Рис.4.6
Дифференцируя (4.8), и рассматривая полученное выражение на концах участка, получим:
Qij = Qij0 + (M пр – M лев)/lij, (4.9)
где Qij и Qij0 – поперечные силы от заданной и от местной нагрузки в i-ом узле рамы на участке i-j (рис. 4.6, г-д), а М пр и М лев – значения моментов на концах соответствующей балки, взятые с учетом знаков из сопромата. Аналогично под Qji будем понимать поперечную силу в j-ом узле этого участка. Тогда в нашем примере М пр = – Mj, а М лев = – Mi, поэтому
Qij = ql/2 + (Mi – Mj)/lij;
Qji = – ql/2 + (Mi – Mj)/lij.
Применяя соответствующие обозначения для продольных сил, и рассматривая равновесие i-го узла рамы, получим (рис. 4.6, е):
SX = 0; _ Nij = – Qik;
SY = 0; _ Nik = – Qij.
Аналогичные уравнения, получаемые из условия равновесия рассматриваемого j-го узла рамы, или ригеля i-j в целом, можно использовать для проверки найденных результатов.
Вернемся теперь к рассмотрению рамы на рис. 4.5, а.
Пример 4.3. Построить эпюры внутренних усилий для заданной рамы (рис. 4.5, а).
Решение.
1) Находим изгибающие моменты по формуле (4.7):
Mp = Mp0 + `M10X1 + `M20X2,
воспользовавшись найденными ранее значениями X1 и X2 – см. пример 4.2.
На ригеле эта эпюра совпадает с эпюрой`M10X1 (рис. 4.5, ж), поскольку на этом участке эпюры Mp0 и`M20 равны нулю. Для построения Mp на стойке достаточно вычислить ее значения в 1-ом узле (рис. 4.5, и): M1 = 2 + (1/7) – (12/7) = 3/7кНм.
2) При построении эпюры на стойке будем, для определенности, считать первый узел – левым, а второй – правым. Тогда по формуле (4.9) получим:
Q12 = ql12/2 + (M пр – M лев)/l12 = (12)/2 + (–1/7) – (–3/7)/2 = 1 + 1/7 = 8/7;
Q21 = ql12/2 + (M пр – M лев)/l12 = 1 + 1/7 = 6/7кН.
На ригеле местная нагрузка отсутствует, поэтому (рис. 4.5, к):
Q23 = Q32 = (1/7)/2 = 1/14кН.
3) Для построения эпюры Np достаточно рассмотреть равновесие 2-го узла рамы:
SX = 0; _ N23 = – Q21 = – 6/7 кН;
SY = 0; _ N21 = – Q23 = – 1/14 кН.
Для проверки правильности построения эпюр можно рассмотреть равновесие части рамы (рис. 4.5, м), расположенной выше сечения, проведенного вблизи опор A и B – где известны значения всех трех эпюр:
SX = 2 – 6/7 – 8/7 = 0;
SY = 2/7 – 2/7 = 0;
SMA= 3/7 – 21 + (6/7)2 – (1/14) 2 = 0.