Задача 5

Имеются данные среднегодовой стоимости основных фондов, (млн руб.)х₁, среднегодовой стоимости оборотных средств (млн руб.)х₂и величины валового дохода за год (млн руб.)упо 25 предприятиям, которые представлены в табл. 11.

Таблица 11

i	у	х1	х2
1	45	17	54
2	48	20	78
3	50	80	100
4	52	65	114
5	56	124	42
6	45	100	38

Окончание табл. 11

i	у	х1	х2
7	63	28	56
8	69	36	59
9	75	98	46
10	80	114	65
11	88	102	56
12	90	96	50
13	99	102	87
14	75	116	54
15	113	50	63
16	118	60	75
17	65	56	28
18	111	87	56
19	121	112	45
20	160	115	88
21	176	120	74
22	186	110	90
23	192	111	102
24	203	118	105
25	237	154	106

Задания:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности, а также стандартизированные коэффициенты регрессии; сделать вывод о силе связи результата и фактора.

3. Рассчитать парные, частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.

4. Проверить значимость уравнения регрессии на 5%-м уровне по F-критерию, проверить значимость коэффициентов регрессии поt-статистике.

Решение:

1. По данным табл. 11 найдем уравнение регрессии упох₁,х₂. Расчеты произведем в Excel по формуле (32), промежуточные вычисления представим в табл. 12.

Система уравнений для расчета коэффициентов регрессии примет вид:

Таблица 12

i	х1	х2	у	yх1	yх2	х1^2	х2^2	x1x2	у^2
1	17	54	45	765	2430	289	2916	918	2025
2	20	78	48	960	3744	400	6084	1560	2304
3	80	100	50	4000	5000	6400	10000	8000	2500
4	65	114	52	3380	5928	4225	12996	7410	2704
5	124	42	56	6944	2352	15376	1764	5208	3136
6	100	38	45	4500	1710	10000	1444	3800	2025
7	28	56	63	1764	3528	784	3136	1568	3969
8	36	59	69	2484	4071	1296	3481	2124	4761
9	98	46	75	7350	3450	9604	2116	4508	5625
10	114	65	80	9120	5200	12996	4225	7410	6400
11	102	56	88	8976	4928	10404	3136	5712	7744
12	96	50	90	8640	4500	9216	2500	4800	8100
13	102	87	99	10098	8613	10404	7569	8874	9801
14	116	54	75	8700	4050	13456	2916	6264	5625
15	50	63	113	5650	7119	2500	3969	3150	12769
16	60	75	118	7080	8850	3600	5625	4500	13924
17	56	28	65	3640	1820	3136	784	1568	4225
18	87	56	111	9657	6216	7569	3136	4872	12321
19	112	45	121	13552	5445	12544	2025	5040	14641
20	115	88	160	18400	14080	13225	7744	10120	25600
21	120	74	176	21120	13024	14400	5476	8880	30976
22	110	90	186	20460	16740	12100	8100	9900	34596
23	111	102	192	21312	19584	12321	10404	11322	36864
24	118	105	203	23954	21315	13924	11025	12390	41209
25	154	106	237	36498	25122	23716	11236	16324	56169
Сумма	2191	1731	2617	259004	198819	223885	133807	156222	350013

Решив систему уравнений методом Гаусса, получили следующие значения коэффициентов регрессии b₀=34,121;b₁= 0,788;b₂= 1,008.

Уравнение множественной линейной регрессии примет вид:

у=34,121 + 0,788х₁+ 1,008х₂.

Коэффициент регрессии b₁показывает, что при увеличении на 1 млн руб. среднегодовой стоимости основных фондов (х₁) валовой доход (у) в среднем увеличится на 0,788 млн руб. при постоянном значении среднегодовой стоимости оборотных средств (х₂). Если же увеличится среднегодовая стоимость оборотных средств (х₂) на 1 млн руб., а стоимость основных фондов (х₁) в среднем не изменится, то валовой доход (у) увеличится в среднем на 1,008 млн руб.

2. Рассчитаем коэффициенты иE_jдля рассматриваемого примера по формуле (33).

Предварительно найдем значения среднеквадратичного отклонения для переменных задачи, используя данные табл. 12.

= 35,702;

= 23,624;

= 55,160.

Тогда,

= 0,510= 0,432.

= 0,659= 0,667

С увеличением среднегодовой стоимости основных фондов на 1 % от среднего уровня годовой валовой доход возрастет на 65,9% от своего среднего уровня при фиксированном значении среднегодовой стоимости оборотных средств. С увеличением стоимости оборотных средств на 1 % от среднего уровня годовой валовой доход возрастет на 66,7% от своего среднего уровня при фиксированном значении стоимости основных фондов. Сила влияния стоимости оборотных средств (х₂) на доход несколько больше, чем сила влияния стоимости основных фондов (х₁).

3. Определим парные коэффициенты корреляции, используя формулу (12) и данные табл. 12.

= 0,602;

= 0,540;

= 0,214.

Парный коэффициент между доходом (у) и стоимостью основных средств (х₁) равен 0,602. Парный коэффициент между доходом (у) и стоимостью оборотных средств (х₂) равен 0,540. Связь между переменными довольно тесная.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции:

= 0,591;

= 0,527.

При сравнении коэффициентов парной и частной корреляции приходим к выводу, что из-за слабой зависимости между факторами (r_x1x2= 0,214 – отсутствие мультиколлинеарности) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно.

Рассчитаем коэффициент множественной корреляции по формуле

Коэффициент множественной корреляции больше значений парных коэффициентов корреляции. Совокупность факторов оказывает большее совместное влияние на результативный признак.

Для линейных моделей коэффициент множественной детерминации равен квадрату коэффициента множественной корреляции, тогда R²= 0,735²= 0,54.

4. Для оценки адекватность уравнения регрессии воспользуемся критерием Фишера. Для расчета F_наблвоспользуемся формулой

= 12,92.

По таблицам F-критерия прил. 1F_0,05;2;22= 3,44. Так какF>F_0,05;2;17, то уравнение регрессии значимо.

Чтобы оценить значимость параметров регрессии b₁иb₂необходимо найти значенияt-статистики. Используя предыдущие расчеты, найдем частныеF-критерии Фишера.

= 12,394;

= 8,881.

Для линейных моделей частный F-критерий Фишера связан сt-критерием Стьюдента следующим соотношением:

.

Выполнив расчеты, получим

= 3,521;

= 2,980.

По таблицам t-распределения прил. 1t_0,95;22= 2,07. Тогда,

t₁= 3,521 >t_0,95;47= 2,07 – параметрb₁адекватен;

t₂= 2,980 >t_0,95;47= 2,07 – параметрb₂адекватен.