- •Казахстанско-британский технический университет факультет информационных технологий кафедра высшей и прикладной математики
- •Рысбайулы б.
- •§1. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •1.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция).
- •1.2.Сплайн 2-го порядка s(X).
- •Из последней системы определяются
- •1.3. Расчетные формулы сплайна 2-го порядка.
- •1.4. Переменные и структурная схема расчета.
- •С начало труктурная схема расчета.
- •§2. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •2.4. Алгоритм вычисления определенного интеграла.
- •Структурная схема расчета.
- •2.5. Фильтрация жидкости и газа
- •2.6. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •§3. Расчет показателей нефтяного месторождения в законтурной области пласта при упругом режиме.
- •3.1. Постановка задачи.
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2).
- •2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.
- •3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.
- •4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.
- •§ 4. Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки . Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача
- •4.1. Постановка задачи.
- •4.2. Математическая модель.
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки.
- •4.5. Переменные. Блок-схема.
- •Блок-схема
- •§ 5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •7.4. Расчетная схема.
- •7.5. Переменные и блок – схема.
- •Блок-схема
- •7.6. Задания для лабораторной работы.
- •§8. Обратная задача для уравнения теплопроводности.
- •Численная реализация
- •Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
§3. Расчет показателей нефтяного месторождения в законтурной области пласта при упругом режиме.
3.1. Постановка задачи.
З адача 3. Для условий, данных в задаче 2 требуется определить изменение добычи нефти, воды, текущей нефтеотдачи и обводненности продукции при заданной динамике жидкости в течение 15 лет. Для рассматриваемого месторождения известны данные зависимости (рис. 13) текущей обводненности продукции от отношения (Qн – накопленная добыча нефти, Nн – запасы нефти). Считается, что эта зависимость будет справедливой в течение |
1
а
0 0.5 Рис.13 Зависимость текущей обводненности от относительного отбора нефти η. |
рассматриваемого срока разработки.
3.2. Математическая модель задачи.
Текущая обводненность продукции скважин определяется следующим соотношением: дебит воды, добываемой одновременно с нефтью из всех скважин;
qн – дебит нефти.
Понятно, что . Так как кривая на рис.3.1 выражает зависимость .
Поскольку получим . Из предыдущего равенства имеем
. или . (3.1)
. (3.2)
Полученная задача Коши (3.1) – (3.2) решается различными численными методами.
Теория вытеснения нефти водой, развитая Баклеем и Левереттом, изложена в [4]. В качестве аппроксимирующей функций зависимости приведенной в рис.6 используем выражение
(3.3)
называется функцией Баклея – Леверетта, где а – положительная константа.
3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2).
Поясним основные понятия, возникающие при использовании численных методов.
Введем по переменной t равномерную сетку с шагом h>0, т.е. рассмотрим множество точек .
1. Метод Эйлера. Уравнение (3.1) заменяется разностным уравнением
.
Где
Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле .
Погрешность метода. , где – константа, зависящая от правой части дифференциального уравнения (3.1). В этом случае метод имеет первый порядок точности.
2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.
Предположим, что приближенное значение решение исходной задачи в точке уже известно. Для нахождения поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера вычислим промежуточное значение , а затем воспользуемся разностным уравнением , из которого явным образом найдем искомое значение .
Погрешность метода. , где – константа, зависящая от исходных данных (3.1). Этот метод имеет второй порядок точности.
3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.
Считаем, что решение задачи (3.1) – (3.2) в точке уже известно. Тогда решение задачи (3.1) – (3.2) определяется по следующей схеме:
Погрешность метода.
, где – константа, не зависящая от к.