- •Казахстанско-британский технический университет факультет информационных технологий кафедра высшей и прикладной математики
- •Рысбайулы б.
- •§1. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •1.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция).
- •1.2.Сплайн 2-го порядка s(X).
- •Из последней системы определяются
- •1.3. Расчетные формулы сплайна 2-го порядка.
- •1.4. Переменные и структурная схема расчета.
- •С начало труктурная схема расчета.
- •§2. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •2.4. Алгоритм вычисления определенного интеграла.
- •Структурная схема расчета.
- •2.5. Фильтрация жидкости и газа
- •2.6. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •§3. Расчет показателей нефтяного месторождения в законтурной области пласта при упругом режиме.
- •3.1. Постановка задачи.
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2).
- •2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.
- •3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.
- •4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.
- •§ 4. Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки . Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача
- •4.1. Постановка задачи.
- •4.2. Математическая модель.
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки.
- •4.5. Переменные. Блок-схема.
- •Блок-схема
- •§ 5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •7.4. Расчетная схема.
- •7.5. Переменные и блок – схема.
- •Блок-схема
- •7.6. Задания для лабораторной работы.
- •§8. Обратная задача для уравнения теплопроводности.
- •Численная реализация
- •Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
§8. Обратная задача для уравнения теплопроводности.
Пусть - коэффициент теплопроводности,
- температура в точке z в момент времени t.
Тогда процесс распространения тепла на отрезке описывается уравнением
В прямой задаче надо найти по известной функции .
Для единственности решения прямой задачи необходимо задать начальные условия
и по одному условию на каждой из границ, например, поток
Если данные прямой задачи (1)-(4) достаточно гладкие и , то решение прямой задачи существует и единственно.
Обратная задача. Пусть о решении прямой задачи (1)-(4) известна дополнительная информация
Требуется определить один из коэффициентов уравнения (1) (или какую-либо их комбинацию) из соотношений (1)-(5).
Численное решение обратной задачи (1)-(5) будем искать при , минимизируя целевой функционал
Зададим начальное приближение .
Приближение будем вычислять методом простой итерации
Здесь - достаточно малое число, - градиент функционала .
Обратная задача 1: найти коэффициент из соотношений:
Найдем приращение функционала (6):
Здесь . является решением следующей задачи
Решение сопряженной задачи.
Восстановление кусочно-постоянной среды в обратной задаче.
Рассмотрим сопряженную задачу:
Умножим обе части равенства (12) на функцию и проинтегрируем по области :
Проинтегрируем по частям выражение
Имеем
Тогда учитывая условия (13)-(15) и (17)-(19), получим, что
Последние два слагаемых в правой части равенства (21) имеют второй порядок малости. Тогда получаем следующий градиент функционала
Здесь - решение сопряженной задачи.
Восстановление кусочно-постоянной среды
Предположим, что искомая функция q(x) кусочно-постоянна
В этом случае градиент функционала J(q) записывается в виде:
Решение обратной задачи, т.е. вектор ищем методом простой итерации
Алгоритм метода
Пусть приближение известно.
Решаем прямую задачу
Решаем сопряженную задачу
Находим значение градиента функционала
Находим следующее приближение .
Численное решение обратной задачи для уравнения теплопроводности.
Алгоритм и блок-схема численной реализации.
Численная реализация
Введем в области равномерную сетку по времени и пространству с шагами , . Индексы узлов: , .
Решаем прямую задачу (17)-(20) конечно-разностным методом.
При аппроксимации воспользуемся неявными схемами для уравнения теплопроводности. Уравнения на каждом шаге решаются методом прогонки.
Разностная схема для прямой задачи (24)-(27):
Разностная схема для сопряженной задачи (28)-(31):
Выражение для градиента в случае кусочно-постоянного коэффициента:
Здесь - индекс точки разрыва коэффициента.
Связь между уравнениями
Рассмотрим, как от уравнения одного вида можно перейти к уравнению другого вида. Пусть
Предположим, что коэффициент имеет вид . Тогда подставив в уравнение (40), перейдем к следующему уравнению
.
Сделаем замену переменной в (41)
и введем новые функции
.
Тогда получим следующее уравнение
.
Если ввести новые функции
,
тогда от уравнения (42) перейдем к уравнению
.