- •Казахстанско-британский технический университет факультет информационных технологий кафедра высшей и прикладной математики
- •Рысбайулы б.
- •§1. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •1.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция).
- •1.2.Сплайн 2-го порядка s(X).
- •Из последней системы определяются
- •1.3. Расчетные формулы сплайна 2-го порядка.
- •1.4. Переменные и структурная схема расчета.
- •С начало труктурная схема расчета.
- •§2. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •2.4. Алгоритм вычисления определенного интеграла.
- •Структурная схема расчета.
- •2.5. Фильтрация жидкости и газа
- •2.6. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •§3. Расчет показателей нефтяного месторождения в законтурной области пласта при упругом режиме.
- •3.1. Постановка задачи.
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2).
- •2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.
- •3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.
- •4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.
- •§ 4. Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки . Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача
- •4.1. Постановка задачи.
- •4.2. Математическая модель.
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки.
- •4.5. Переменные. Блок-схема.
- •Блок-схема
- •§ 5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •7.4. Расчетная схема.
- •7.5. Переменные и блок – схема.
- •Блок-схема
- •7.6. Задания для лабораторной работы.
- •§8. Обратная задача для уравнения теплопроводности.
- •Численная реализация
- •Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
(7.11)
i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.
где
Метод прогонки для решения разностной схемы.
Система (7.9) – (7.10) является системой линейных алгебраических уравнений с N-1 неизвестными. Полученная задача решается методом прогонки.
Пусть
. (7.12)
После подстановки в (7.11) получится рекуррентная формула
(7.13)
Для определения преобразуя (7.10) приводим его к виду
(7.14)
где
Сравнивая (7.14) с (7.12) получаем, что
(7.15)
Теперь из (7.12) , (7.15) определяются все
После этого рассматривая совместно (7.12) и (7.9) вычисляются все
В данном случае все условия теоремы 2 из §4 выполняются, поэтому метод прогонки для решения задачи (7.9) – (7.11) является устойчивой.
7.4. Расчетная схема.
1) Используя заданные функций вычисляются
(7.16)
2) Из рекуррентного соотношения
определяются все
После этого используя формулу правой прогонки
определяются все .
7.5. Переменные и блок – схема.
В данном случае искомая функция зависит от двух переменных t и х. Поэтому соответствующая сеточная функция зависит от двух дискретных переменных i и j. При программировании мы должны резервировать место в оперативной памяти компьютера для двухмерного массива.
Блок-схема
Начало
α, Н0, N, М, λ(θ), с(θ),ρ(θ), θ1
Ввод начальных данных иописание термодинамических
характеристик грунта.
- - - - -
Вычисление параметров
разностной схемы и
начальной функций
Δt, Δh,
У[l], l =0, …, N
У1[0] = θ1
- - - - -
конец
J = 0, M - 1, 1
E, αN-1, β N-1
Начальные значениякоэффициента прогонки
- - - - - -
I = N-1, 1, -1
αi-1, β i-1
I = 0, N - 2, 1
рис. 14
Если M и N достаточно большие величины, то в оперативной памяти компьютера может не хватит места для массива . Чтобы избежать этого, вводятся одномерные массивы . Вместо массивов Ai, B i, C i используются идентификаторы A, B, C. Для отводятся одномерные массивы . В формуле (7.16) при определений Ai ,Ci ,B i используется отношение . Если это выражение очень большое, то вычислительный процесс будет не устойчивой. В этом случае не выполняется теорема 2.
Теорема 2. Пусть решение дифференциальной задачи (7.4)-(7.7) θ обладает непрерывными производными до четвертого порядка и если , то решение разностной схемы (7.8) – (7.10) сходится к решению дифференциальной задачи (7.4) – (7.7).
Алгоритм реализации схемы расчета приведен на рис. 3.