- •Казахстанско-британский технический университет факультет информационных технологий кафедра высшей и прикладной математики
- •Рысбайулы б.
- •§1. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •1.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция).
- •1.2.Сплайн 2-го порядка s(X).
- •Из последней системы определяются
- •1.3. Расчетные формулы сплайна 2-го порядка.
- •1.4. Переменные и структурная схема расчета.
- •С начало труктурная схема расчета.
- •§2. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •2.4. Алгоритм вычисления определенного интеграла.
- •Структурная схема расчета.
- •2.5. Фильтрация жидкости и газа
- •2.6. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •§3. Расчет показателей нефтяного месторождения в законтурной области пласта при упругом режиме.
- •3.1. Постановка задачи.
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2).
- •2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.
- •3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.
- •4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.
- •§ 4. Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки . Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача
- •4.1. Постановка задачи.
- •4.2. Математическая модель.
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки.
- •4.5. Переменные. Блок-схема.
- •Блок-схема
- •§ 5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •7.4. Расчетная схема.
- •7.5. Переменные и блок – схема.
- •Блок-схема
- •7.6. Задания для лабораторной работы.
- •§8. Обратная задача для уравнения теплопроводности.
- •Численная реализация
- •Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
Казахстанско-британский технический университет факультет информационных технологий кафедра высшей и прикладной математики
О П О Р Н Ы Й К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й
По дисциплине Численные методы
.
(Для студентов ФЭиНГИ )
Рысбайулы б.
АЛМАТЫ 2012
§1. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
Интерполяция |
Приближение функции, известной на конечном множестве точек М, некоторой функцией (сплайном, многочленом Лагранжа и т.п.), значения которой совпадают со значениями данной функции на М. |
Постановка задачи. Функция у = f(x) задана в табличном виде
X |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
f(x) |
f(x0) |
f(x1) |
f(x2) |
f(x3) |
… |
f(xn) |
в точках ,
Найти приближенное значение функции у = f(x) в промежуточных точках
Решение. Если аналитический вид функции у = f(x) неизвестен, то значения функции вычисляются приближенно. Приближенные методы вычисления называется интерполированием функции. Наиболее точным и простым методом интерполирования функции является интерполирование функции сплайном.
1.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция).
Т очки и соединяются прямыми линиями, т.е. получаем ломаную линию А0, А1, А2, …, Аn (рис.1.1).Используя уравнение прямой, проходящей через точки Аi (xi, уi), Ai+1 (xi+1 ,уi+1) получим |
у
А1 А3 А2
А0 Аn
a=х0 х1 0 х2 х3 хn=b х
Рис.1.1. |
(1.1)
где yi = f(xi), xi = a + ih, a = x0. Из (1.1) получим
(1.2)
В (1.2) функция у зависит от i и х. Поэтому запишем в следующем виде
S(x)= (1.3)
Функция (1.3) называется сплайном 1-го порядка.
Лабораторная работа №1. Задать самостоятельно функцию у = f(x). Составить таблицу функции у = f(x) на отрезке [а;в] в узлах хi =a+ih. Вычислить промежуточные точные значения .
Вычислить погрешность .
Найти среднюю арифметическую величину (мат.ожидание)
и среднеквадратическое отклонение
.
Переменные программирования.
Массивы.
Переменные. Введем обозначения
M а= А, sig =σ , x = x,i=i .
Константы. a, b, n, h, k
Программа.
Пусть
Ma : = Ø ; Sig : = Ø ;
For i : = Ø fo n-1 do
Ma : = Ma + D [i] /n ;
for i : = Ø to n-1 do
Sig : = Sig + SQR (D [i] – Ma) / (n-1) ;
Sig : = SQRT (Sig);
WRITELN (’У = ’, ’ ’, ’У1= ’,’ ’, ’S = ’, ’, ’D =’);
For i : = Ø to n-1 do
WRITELN (У[i]:9:4,’ ’ , У1[i]:9:4, ’ ’ ,S[i]:9:4, ’ ’ , D[i]:9:4);
WRITELN (’ Ma ’, Ma, ’ ’, ’ Sig = ’, Sig) ;
end.