Задание 3. Эмпирическая функция распределения.

Постановка задачи.

Построить график эмпирической функции распределения с подогнанной ожидаемой функцией распределения.

Теоретические основы.

См. стр. 31-32 пособия [4].

Вычисления.

Если попытаться построить ЭФР средствами Excel, упорядочив сначала данные и сопоставив затем каждому упорядоченному значению x_(k) значение , то вместо горизонтальных получим наклонные ступеньки. Чтобы избежать этого недостатка, можно каждое значение вариационного ряда повторить дважды, при этом первому из этих значений сопоставить ЭФР , а второму .

Вычисление нормальной функции распределения описано ниже в главе “Встроенные функции Excel”. Здесь кратко только скажем, что для этого можно использовать функции НОРМРАСП и НОРМСТРАСП из категории “Статистические”.

Функция распределения экспоненциального закона вычисляется с помощью простой функции EXP.

Кроме того, предполагается, что уже вычислены среднее значение и дисперсия выборки (задание 1).

Пример.

Рис. 2

 Порядок вычислений.

1. Скопировать исходные данные в буфер обмена;

2. перейти на лист “ЭФР” и, установив курсор в ячейку A3, вставить данные из буфера обмена;

3. повторить процесс восстановления данных, начиная с ячейки A104

• установить курсор в ячейку A104;

• вставить данные из буфера обмена

  1. – всего получится 202 значения с 3-й по 204-ю ячейки;

4. упорядочить значения в столбце A

• кликнуть мышкой по кнопке ;

5. ввести в ячейку B3 формулу

• =(СТРОКА(B3)-1)/202-1/101

  1. – функция «СТРОКА» возвращает номер строки указанного аргумента, то есть в данном случае в ячейке B3 получится значение (3-1)/202-1/101 = 0;

6. ввести в ячейку B4 формулу

• =(СТРОКА(B3)-1)/202

  1. – получится значение (3-1)/202 = 1/101;

7. выделить обе ячейки B3 и B4 и скопировать их параллельно всем данным до ячейки B204

1. – в последней ячейке должно получиться значение 1;

8. добавить в ячейку A2 значение, на единицу меньшее значения ячейки A3 и сопоставить ему значение 0 в ячейке B2;

9. добавить в ячейку A205 значение, на единицу большее значения ячейки A204 и сопоставить ему значение 1 в ячейке B205.

Ввести формулы вычисления нормального распределения:

10. в ячейки F4, F5 (те, которые скрыты графиком) скопировать среднее и стандартное отклонение, соответственно

• =МОМЕНТЫ!B4

• =МОМЕНТЫ!B6

11. в ячейку C2 ввести формулу нормального распределения

• =НОРМРАСП(A2;$F$4;$F$5;1)

12. в ячейку D2 ввести формулу вычисления расхождения между ЭФР и ожидаемой функцией распределения

• =ABS(C2-B2)

13. скопировать обе ячейки C2 и D2 вплоть до 205-й строки;

14. вычислить максимальное расхождение, например, в ячейке F6

• =МАКС(D2:D205)

Теперь уже можно рисовать графики:

15. выделить все значения в ячейках A2:C205;

16. вызвать “Мастера Диаграмм”;

17. выбрать «Точечную» диаграмму – без маркеров со сглаживающей линией (третья по порядку среди точечных диаграмм);

18. при выборе представления диаграммы, после двух нажатий кнопки , удалить “Легенду” и добавить “Заголовок по оси Х”:

• МАКСИМАЛЬНОЕ РАСХОЖДЕНИЕ D=…

  1. (указав здесь полученное значение Δ из ячейки F6);

19. ;

20. установить параметры диаграммы, как в примере.

Замечание. Если бы параметры нормальной модели не оценивались по выборочным данным, а были бы в точности равны этим оценкам, то при полученном здесь расхождении Δ=0,097 гипотезу нормальности следовало бы принять с критическим уровнем значимости > 0,20 (см. таблицу 6.2 сборника таблиц [1]). Это надо воспринимать как хороший знак и не более того. Если неизвестные значения параметров оцениваются по выборке, то критический уровень значимости становится зависящим от неизвестных параметров и трудно ожидать, что даже в предположениях гипотезы критерий будет иметь приемлемый размер.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте статистическую задачу.

2. Что такое вариационный ряд?

   1. 31.

3. Дайте определение эмпирической функции распределения?

   1. 31.

4. Почему некоторые ступеньки ЭФР высокие, а некоторые низкие?

   1. 31.

5. Почему одни ступеньки ЭФР длинные, а другие короткие?

   1. 31.

6. Постройте ЭФР по следующим данным: 1; 2; 1; 3; 1; 5; 1; 3.

7. Выпишите формулу для функции распределения нормального закона (равномерного, экспоненциального).

   1. 16-21.

8. Можно ли утверждать, что ЭФР является состоятельной оценкой истинной функции распределения? Что сие означает?

   1. 31.

9. Можно ли утверждать, что ЭФР является несмещенной оценкой истинной функции распределения? Что сие означает?

   1. 31.

10. Докажите несмещенность ЭФР.

11. Можно ли по значению максимального расхождения между ЭФР и ожидаемой функцией распределения принять или отвергнуть гипотезу о виде истинной функции распределения?

    1. 32.