ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет автоматики и электромеханики

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа по курсу «Высшая математика» на тему:

«Моделирование и гармонический анализ аналого-цифрового преобразователя».

Выполнил: студент группы АТ-101

Ломакин В.А.

Проверил: Купцов В.С.

Воронеж 2011

Содержание

Тригонометрический ряд Фурье 4

Обобщения 6

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве 6

Двойственность Понтрягина 7

Сходимость ряда Фурье 7

Введение

Спектральная (частотная) форма представления сигналов использует разложение сигнальных функций на периодические составляющие.

Периодичность гармонических колебаний исследовал еще в VI веке до нашей эры Пифагор и даже распространил его на описание гармонического движения небесных тел. Термин "spectrum" ("спектр") впервые применил И. Ньютон в 1571 году при описании разложения солнечного света, пропущенного через стеклянную призму, на многоцветную полосу. Он же дал и первую математическую трактовку периодичности волновых движений. В 18-м веке решениями волновых уравнений (в приложении к струнам) занимались Даниил Бернулли и Леонард Эйлер. По существу, уже Бернулли и Эйлер показали, что произвольные периодические функции представляют собой суммы простейших гармонических функций – синусов и косинусов кратных частот. Эти суммы получили название рядов Фурье, после того как в 1807 году французский инженер Жан Батист Фурье обосновал метод вычисления коэффициентов тригонометрического ряда, которым можно отображать с абсолютной точностью (при бесконечном числе членов ряда) или аппроксимировать с заданной точностью (при ограничении числа членов ряда) любую периодическую функцию, определенную на интервале одного периода T = b-a, и удовлетворяющую условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода). Ряды Фурье в вещественной форме имеют следующий вид:

y(x) =(a₀/2) + (a_k cos(2kf₁x) + b_k sin(2kf₁x)), f₁ = 1/T.

a_k = (2/T) y(x) cos(2kf₁x) dx, b_k = (2/T) y(x) sin(2kf₁x) dx.

Разложение сигнала на гармонические функции получило название прямого преобразования Фурье. Обратный процесс – синтез сигнала по синусоидам – называется обратным преобразованием Фурье (inverse Fourier transform).

Теоретическая часть

Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда

Этот ряд может быть также переписан в виде

.

где

A_k — амплитуда k-го гармонического колебания,

 — круговая частота гармонического колебания,

θ_k — начальная фаза k-го колебания,

 — k-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова…

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.