Тригонометрический ряд Фурье
Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида
|
(1) |
где
Числа a0, an и bn ( ) называются коэффициентами Фурье функции f. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты a0, an и bn. Если умножить правую часть (1) на cos(kx) и проинтегрировать по промежутку [ − π,π], благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент ak. Аналогично для bk
Ряд (1) сходится к функции f в пространстве L2([ − π,π]). Иными словами, если обозначить через Sk(x) частичные суммы ряда (1):
,
то их среднеквадратичное отклонение от функции f будет стремиться к нулю:
.
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением
.
Мы также рассматриваем систему функций
.
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:
,
где ряд в правой части сходится к f по норме в . Здесь
.
Коэффициенты : связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:
Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения и не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.
Обобщения Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства L2[ − π,π] с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система {φ1,φ2,...,φn,...} в гильбертовом пространстве R и f — произвольный элемент из R. Предположим, мы хотим представить f в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов {φk}:
Домножим это выражение на φk. С учётом ортогональности системы функций {φk} все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при n = k:
(f,φk) = ck | | φk | | 2
Последовательность чисел
называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента f по системе {φk}, а ряд
∑ |
ckφk |
k |
|
называется рядом Фурье элемента f по ортогональной системе {φk}.
Ряд Фурье любого элемента f по любой ортогональной системе сходится в пространстве R, но его сумма не обязательно равна f. Для ортонормированной системы φk в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:
система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
система является полной, то есть в R не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам φ1,φ2,...,φn,... одновременно.
система является замкнутой, то есть для любого выполнено равенство Парсеваля
.
линейные комбинации элементов φ1,φ2,...,φn,... плотны в пространстве R.
Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента f равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов φ1,φ2,...,φn,.... В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя: