Задание 12.

Построить интервальную оценку для дисперсии нормального распределения.

Постановка задачи.

Имеется выборка из нормального распределения. Требуется построить 95%-доверительный интервал (верхнюю границу, нижнюю границу) для неизвестной дисперсии этого распределения.

Теоретические основы.

См. стр. 51-54 и стр. 55-56 пособия [4].

Вычисления.

В пакете Excel реализована функция надежности рас­пре­деления хи-квадрат ХИ2РАСП(x ; m)=1– K_m(x) и обратная к ней функция ХИ2ОБР(p ; m). Квантиль хи-квадрат распределения можно вычислить как

= ХИ2ОБР(1–p ; m).

Пример.

Воспользуемся данными из предыдущего задания. Схема построения доверительных границ для дисперсии состоит из следующих шагов.

1. По выборочным данным находится дисперсия .

2. По таблицам или воспользовавшись функцией ХИ2ОБР, находятся квантили хи-квадрат распределения и для и .

3. Строятся доверительные границы и .

Характеристика			Формула	Функция Excel
Дисперсия	0,237			ДИСПР(…)
Число данных	22		n	СЧЕТ(…)
Уровень	0,05
Надежность Q	95%
Квантили			или
=10,283	=11,591			ХИ2ОБР (p ; n-1)
=35,479	=32,671			ХИ2ОБР (1-p ; n-1)
Верхняя граница	0,450
Нижняя граница	0,160
Доверительный интервал	(0,147; 0,507)

 Порядок построения вполне очевиден из приведенной пояснительной таблицы.

Замечание 1. Не надо строить все границы – ограничьтесь только той, которая требуется в задании.

Замечание 2. Мы воспользовались теми же данными, по которым было построено доверительное утверждение для среднего значения. Однако так поступать нельзя, поскольку мы тем самым утверждаем, что с надежностью выполняется составное утверждение

,

но это не верно.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте статистическую задачу.

2. Приведите формулы доверительных границ (доверительного интервала) для дисперсии нормального распределения.

   1. 56.

3. Найдите по таблице 5%-ю и 90%-ю верхние квантили хи-квадрат распределения для объема выборки .

   1. 75.

4. Проверьте гипотезу о значении истинной дисперсии на уровне 5% при альтернативе , воспользовавшись результатами примера.

   1. 52.