Задание 2. Гистограмма выборки.

Постановка задачи.

Построить график гистограммы выборки с подогнанной ожидаемой функцией плотности.

Теоретические основы.

См. стр. 28-30 пособия [4].

Вычисления.

Пакет Excel располагает функцией ЧАСТОТА, предназначенной для подсчета количеств попаданий в заданные интервалы разбиения числовой прямой. Это не совсем обычная функция. Она относится к классу так называемых функций массива. Для её вызова необходимо

1. в столбце, например, A2:A10 указать интервалы группировки;

2. напротив первой границы, например, в ячейку B2 ввести формулу вычисления частоты

   • =ЧАСТОТА(Данные; Область границ)

     • область границ должна содержать ссылку на ячейки с границами + дополнительная ячейка для крайнего правого интервала, например, A2:A11;

3. выделить вертикальный диапазон ячеек, начиная с ячейки, содержащей формулу вычисления частоты, и заканчивая дополнительной ячейкой, соответствующей правой крайней границе (например, B2:B11);

4. ввести формулу как формулу массива

   • последовательно нажать сочетания клавиш

–

• в результате формула {заключенная в фигурные скобки} будет введена во все ячейки диапазона.

Правильность применения функции можно проконтролировать, сравнив сумму значений выделенного диапазона (указывается в нижней строке состояния окна Excel) с объемом выборки.

Пример.

	A	B	C	D	E
1	Границы	Частоты	Плотность
2	117,05	0	0,11
3	118,05	1	1,05	Среднее	121,00
4	119,05	3	5,55	Дисперсия	1,773
5	120,05	20	16,70	Объем	101
6	121,05	34	28,57
7	122,05	23	27,80
8	123,05	13	15,39
9	124,05	3	4,85
10	125,05	4	0,87
11	>125,05	0	0,09
12	Всего	101	100,99
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

 Порядок вычислений.

1. Заполнить ячейки A2, A3 значениями первых двух границ;

2. выделить ячейки A2, A3 и, захватив мышкой точку в правом нижнем углу выделения, протащить мышку до ячейки A10 (число введенных границ будет на 1 меньше необходимого числа групп);

3. в столбце E (ячейки E3, E4, E5) ввести значения среднего, дисперсии и объема выборки, вычисленные в задании 1;

4. в ячейку B2 (напротив 1-ой границы) ввести формулу

   • =ЧАСТОТА (Данные!B3:B103;А2:А11)

5. скопировать введенную формулу как формулу массива:

   • выделить диапазон ячеек со 2-ей по 11-ую в столбце B (на одну ячейку больше, чем в столбце A);

   • последовательно нажать сочетания клавиш

     1. –

     2. – в результате формула {заключенная в фигурные скобки} будет введена во все ячейки выделенного диапазона;

6. для контроля просуммировать все значения во втором столбце

   1. – результат должен равняться объему выборки (в нашем примере см. ячейку B12);

7. в столбце A в ячейке под последней границей (A11) ввести выражение

   • >125,05

     1. здесь, конечно, нужно указывать свою последнюю границу или символ ;

8. в ячейку C2 ввести формулу вычисления плотности нормального закона (в средней точке интервала)

   • =E$5*exp(–(A2–1/2–E$3)^2/(2*E$4))/КОРЕНЬ(2*ПИ()* E$4)*1

     1. ­– число “1” это длина интервала (в случае необходимости заменить другим числом);

     2. не забывайте про знак $, обеспечивающий неизменность ссылки при параллельном копировании;

9. скопировать эту ячейку вниз в столбце C до ячейки C11, соответствующей последнему интервалу (>116,05);

10. исправить формулу для плотности в последнем интервале

    • заменить выражение A11–1/2 на A10+1/2

      1. – попробуйте самостоятельно объяснить такую замену;

11. просуммировать значения плотности в столбце C

    1. – результат должен быть приблизительно равен объему выборки (ячейка C12).

Теперь уже все готово для построения графика:

12. выделить ячейки A2:C11;

13. вызвать “Мастера Диаграмм”;

14. выбрать тип диаграммы «График|гистограмма» из категории “Нестандартные”;

15. ;

16. привести вида графика к стандартному виду:

    • щелкнуть правой кнопкой мыши по одному из столбиков и, выбрав раздел меню «Формат рядов данных»

      1. – в закладке \\Параметры//, уменьшить зазор до 5;

      2. – в закладке \\Подписи данных//, включить в подписи “значения”;

    • щелкнуть правой кнопкой мыши по графику плотности и, выбрав раздел меню «Формат рядов данных»

      1. – в закладке \\Вид//, добавить возможность “Сглаживания линии” и убрать “Маркеры” на линиях;

    • изменить, если очень захочется, остальные параметры диаграммы (например, убрать “Легенду”).

Замечание 1. При сравнении с показательным распределением в пункте 8 данной схемы следует изменить вычисление функции плотности

• =exp(–(A2–1/2)/*E$3))/E$3 .

Замечание 2. При сравнении с равномерным на отрезке [0; 1] распределением в пункте 8 данной схемы следует изменить вычисление функции плотности

• =1 .

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте статистическую задачу.

2. Как строится гистограмма?

   1. 28.

3. Каким образом следует выбирать интервалы группировки при построении гистограммы?

   1. 29.

4. Сколько интервалов нужно выбирать?

   1. 29.

5. Как связаны значения гистограммы и функции плотности?

   1. 28.

6. Оцените вероятность попадания в интервал .

7. Почему следует сравнивать гистограмму с нормальной плотностью?

   1. 30.

8. Выпишите формулу плотности нормального закона (равномерного, экспоненциального)?

   1. 16-21.

9. Чему полагаются равными параметры нормального закона (равномерного, экспоненциального)?

   1. 30.