Структура общего решения лнду.
Рекомендуемая литература:
1. Письменный д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. 2004.
2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М.- 2004.
3. Баврин И.И. Высшая математика. М.- 2003.
Учебные вопросы:
1. Структура общего решения ЛНДУ.
2. ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
1). Структура общего решения лнду.
Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка
, .
Определение.
Уравнение
,
левая часть
которого совпадает с левой частью
данного уравнения, называется
соответствующим
ему однородным уравнением.
Структура общего решения (ОР) ЛНДУ дается следующей теоремой.
Теорема.
Общим
решением
ЛНДУ является сумма его произвольного
частного решения и общего решения
соответствующего ЛОДУ:
.
Теорема означает, что для того, чтобы получить общее решение ЛНДУ надо решить соответствующее ЛОДУ, т.е. найти его ОР, затем, найти какое-нибудь частное решение ЛНДУ и их сложить.
Рассмотрим теперь методы нахождения частного решения неоднородного ЛДУ.
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)
Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка
, (1) (3.20)
.
Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения
. (2) (3.21)
Решение уравнения (1) (3.20) будем искать в виде
,
(3) (3.22)
т.е. предполагая
не постоянными, а переменными и
дифференцируемыми на
величинами. Эти функции пока неизвестные
произвольные, для нахождения их нужно
иметь
условий. Продифференцируем
- раз
,
каждый раз, что сумма в квадратных скобках равна нулю.
.
И т.д., найдем производную
Полагая
выражение в квадратных скобках равным
нулю, продифференцируем еще раз
.
Подберем так, чтобы функция (3) (3.22) являясь решением уравнения (1) (3.20). Подставляя функцию (3) (3.22) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (1) (3.20), получим
.
Так как
-
ФСР однородного ЛДУ, то получим последнее
-
ое условие относительно
.
Таким образом, для нахождения неизвестных функций получили систему линейных алгебраических уравнений
(4) (3.23)
Решая ее методом Крамера (что можно сделать, т.к. главный определитель системы равен вронскиану , ибо - ФСР), имеем
,
,
где определители
получаются из главного
заменой элементов
-го
столбца свободными членами системы.
Пример.
Найдем общее решение неоднородного ЛДУ
второго порядка
.
Найдем вначале
ФСР однородного уравнения
.
Из характеристического
уравнения
получим
,
т.е.
,
,
поэтому
,
.
Подставив эти функции в (4) (3.23) получим
Отсюда
,
,
.
Следовательно
,
,
,
,
.
Окончательно получим общее решение
исходного уравнения
.
2. Лнду с постоянными коэффициентами.
Метод вариации можно использовать для любых линейных дифференциальных уравнений с любой непрерывной правой частью. А метод неопределенных коэффициентов можно применять только для уравнений с постоянными коэффициентами и только с правой частью определенных видов. Преимущество этого метода в том, что можно находить частное решение неоднородного уравнения, не прибегая к операции интегрирования.
Рассмотрим неоднородное ЛДУ -го порядка с постоянными коэффициентами
. (5) (3.24)
1) Пусть первая часть , где - многочлен степени .
а) Если (коэффициент в показателе экспоненты) не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в той же форме, т.е.
,
где
-
не определены. Для их нахождения нужно
продифференцировать
раз и подставить его в уравнение (5)
(3.24). А дальше коэффициенты находятся
аналогично способу неопределенных
коэффициентов при интегрировании, т.е.
приравниваются коэффициенты при
одинаковых степенях
.
Пример: Найти частное решение уравнения
.
Составляем
характеристическое уравнение
,
корни его
,
.
Значит,
не является корнем характеристического
уравнения.
Будем искать частное решение в виде .
Найдем первую и вторую производные
,
.
П
одставим
в уравнение:
.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева, получим
,
;
б) Пусть
является корнем характеристического
уравнения кратности
.
Тогда частное решение ищется в той же
форме, но с сомножителем
,
т.е.
.
И далее аналогично пункту а).
Пример.
.
Характеристическое
уравнение
имеет корни его
,
.
Значит,
является корнем характеристического
уравнения кратности один. Поэтому
частное решение надо искать в виде
.
Пример: .
Характеристическое уравнение имеет корни корень кратности два, т.е. . Поэтому решение ищем в виде
.
Продифференцируем его дважды:
,
и подставим в уравнение. Вынося и экспоненту, получим
,
Частным решением является функция
.
2) Пусть правая часть уравнения (5) (3.24) есть
.
а) Если комплексное число не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в виде
,
где - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.
Пример: .
Характеристическое уравнение можно представить виде , т.е. , значит не является корнем характеристического уравнения. Решение будем искать в виде .
,
,
.
Подставляя эти производные в уравнение, после сокращения получим
.
Следовательно, частным решением является функция .
б) Если
является корнем характеристического
уравнения кратности
,
тогда частное решение неоднородного
ЛДУ (5)(3.26) ищется в виде
, .
Пример:
Характеристическое уравнение
имеет корни
,
следовательно,
является корнем кратности
.
Поэтому решение следует искать в виде
.