Занятие 1. (лекция)
Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
Рекомендуемая литература:
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. 2004.
2. Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М. 2004.
Учебные вопросы:
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
3. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
4. Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
1). Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если V(0) = 100 м/с, a V(l) = 50 м/с.
Решение: Примем за независимую переменную время t, отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки V будет функцией t, т. е. V = V(t). Для нахождения V(t) воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): та=F, где а=V'(t) — есть ускорение движущегося тела, F — результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае F =— kV2, k > 0 —- коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция V = V(t) является решением дифференциального уравнения тV' =— k V2 или V' = —kV2/m. Здесь т — масса тела.
Из
того, что
,
где с –
const.
Найдя зависимость скорости от времени,
легко найти скорость точки через 3 с
после начала замедления.
Найдем
сначала параметры
и с. Согласно
условию задачи, имеем: V(0)
=
=100 и V(l)=
= 50. Отсюда с
=
Следовательно, скорость
точки изменяется по закону V
=
.
Поэтому V(3)
= 25 м/с.
2). Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение.
Дифференциальным уравнением
называется уравнение, связывающее
независимую переменную
,
искомую функцию
и ее производные
т.е. уравнения вида
(1)
где
непрерывная функция
переменных.
Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Например,
Если искомая функция зависит от нескольких независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.
Например,
В дальнейшем будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, явно входящей в уравнение.
Например:
-
дифференциальное уравнение 1- го порядка;
-
дифференциальное уравнение 2- го порядка;
- уравнение 9- го
порядка.
Решением
дифференциального уравнения (1) называется
функция
которая при подстановке в дифференциальное
уравнение обращает его в тождество.
Например,
является решением дифференциального
уравнения
В самом деле,
Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид уравнения первого порядка следующий:
(2)
Если уравнение
(2) удается разрешить относительно
,
то получим
(3)
Это уравнение
называется уравнением первого порядка,
разрешенным относительно производной.