- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
- •1). Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •2). Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
- •Общий интеграл его есть
- •3). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
- •4). Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Другими словами, уравнение (22) представляется в виде
- •Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •1). Дифференциальные уравнения высших порядков. Задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.
- •2). Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М. 2004.
- •1). Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения лоду.
- •2). Лоду с постоянными коэффициентами.
- •Структура общего решения лнду.
- •1. Письменный д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. 2004.
- •2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М.- 2004.
- •Учебные вопросы:
- •1). Структура общего решения лнду.
- •2. Лнду с постоянными коэффициентами.
- •3) Пусть правая часть неоднородного лду представляет сбой сумму числа функции, т.Е. .
- •3. Заключительная часть:
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(4) где правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от .
Предполагая, что , преобразуем его следующим образом:
. ( ) Считая известной функцией от , равенство ( ) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым.
Интегрируя левую часть по , а правую по , получим
.
Мы получили соотношение, связывающее решение , независимое переменное и произвольную постоянную , т.е. получили общий интеграл уравнения (4).
Дифференциальное уравнение типа ( ) или вида
(5) называют уравнением с разделенными переменными.
Общий интеграл его есть
.
Уравнение вида
, (6) в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными.
Путем деления обеих частей на произведение они приводятся к уравнениям с разделенными переменными:
или
,
т.е. к уравнению вида (5). Общий интеграл этого уравнения имеет вид
.
Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество
.
Пример:
1) ;
- однородная функция первого измерения.
2) ;
- однородная функция третьего измерения.
3) ;
- однородная функция нулевого измерения.
Определение 2. Уравнение первого порядка
(7) называется однородным уравнением, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .
Метод решения однородного уравнения следующий. По условию . Положим в этом тождестве , получим , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.
Уравнение (7) в этом случае примет вид
(8) Сделаем подстановку , т.е. . Тогда будем иметь
.
Подставляя это выражение производной в уравнение (8) получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными:
, .
Интегрируя, найдем
.
Подставляя после интегрирования вместо отношение , получим интеграл уравнения (8).
Замечание. Уравнение вида будет однородным в том и только в том случае, когда и являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций – функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида
, (9) где и - непрерывные функции от .
Будем искать решение уравнение (9) в виде произведения двух функций от
. (10) Дифференцируя обе части равенства (10), находим
.
Подставляя полученное значение производной в уравнение (9), имеем
,
или
. (11) Выберем функцию такой, чтобы
(12) Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим
, .
Интегрируя, получим
,
или
.
Так как нам достаточно какого-нибудь отличного нуля решения уравнения (12), то за функцию возьмем
. (13) Очевидно, что .
Подставляя найденное значение в (11) и, учитывая (12), получим
или ; .
Подставляя значения и в формулу (10), получаем
. (14)