- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
- •1). Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •2). Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
- •Общий интеграл его есть
- •3). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
- •4). Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Другими словами, уравнение (22) представляется в виде
- •Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •1). Дифференциальные уравнения высших порядков. Задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.
- •2). Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М. 2004.
- •1). Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения лоду.
- •2). Лоду с постоянными коэффициентами.
- •Структура общего решения лнду.
- •1. Письменный д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. 2004.
- •2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М.- 2004.
- •Учебные вопросы:
- •1). Структура общего решения лнду.
- •2. Лнду с постоянными коэффициентами.
- •3) Пусть правая часть неоднородного лду представляет сбой сумму числа функции, т.Е. .
- •3. Заключительная часть:
3). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
Условие, что при функция должна равняться заданному числу , называется начальным условием. Оно записывается в виде .
Задача отыскания решений дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, носит название задачи Коши.
Теорема существования и единственности решения.
Для уравнения 1- го порядка справедлива следующая теорема:
Теорема (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка). Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей точку , то в некоторой окрестности точки существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию: при , .
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция , график которой проходит через точку .
Из сформулированной теоремы следует, что уравнение (2) имеет бесконечное число различных решений, ибо через каждую точку области проходит одно решение.
4). Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
Замечание: При нахождении решения линейного уравнения (9) можно пользоваться формулой (14).
Уравнение вида
(15) называется уравнением Бернулли.
Прежде всего отметим, что при уравнение (15) принимает вид
то есть является уравнением с разделяющимися переменными, общее решение которого
Разумеется, считаем, что и непрерывны на некотором интервале .
Область изменения величины в (15) определяется значением , то есть областью существования функции .
Для решения д.у. (15) делаем замену
, (16) то есть вместо одной неизвестной функции вводим две! Но появляется возможность при этом выбрать одну функций или , как будет удобнее. Постановка (16) в (15) дает
. (17) Найдем из уравнения
(18) то есть положим
. (19) При этом среди первообразных для выберем наиболее удобную. С учетом (18) уравнение (17) принимает вид
Это уравнение с разделяющимися переменными и общее решение
(20) его с учетом (19) имеет вид
(21) По (16) окончательно
Разумеется, не следует запоминать формулу (21). Надо использовать алгоритм, описанный в (16) – (19).
Рассмотрим дифференциальное уравнение
. (22) Предположим, что , дифференцируемые в некоторой области .
Определение. Если левая часть уравнения (22) представляет собой полный дифференциал некоторой функции , то (22) называется уравнением в полных дифференциалах.
Другими словами, уравнение (22) представляется в виде
; (23) откуда, интегрируя, найдем общий интеграл .
При каких условиях относительно функцией , уравнение (22) будет в полных дифференциалах? Если оно в полных дифференциалах, то как его решить, т.е., как найти функцию ? Ответы на эти вопросы дает следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы уравнение (22) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в области выполнялось условие
(24)
Рекомендуемая литература:
1. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 том. М.- 2004.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. 2 том. М.: Высшая школа,- 2003.