2.4. Основные понятия динамики твердого тела.

Абсолютно твердое тело — это тело, размеры и форма которого остаются неизменными.

Д вижение абсолютно твердого тела складывается из двух независи­мых движений — поступательного и вращательного.

Поступательное движение твердого тела — это движение, при кото­ром все точки движутся по траекториям, параллельным друг другу.

В ращательное движение абсолютно твердого тела — это движение, при котором точки твердого тела вращаются в параллельных плоскостях вокруг оси, проходящей через твердое тело или находящейся вне его.

Плоскости движения точек перпендикулярны оси вращения.

Угловая скорость вращения

Средняя угловая скорость — это отношение угла поворота точки ко времени этого поворота: .

Мгновенная угловая скорость — это угловая скорость двух бесконечно малых интервала времени: , здесь — бесконечно малый угол поворота.

Л инейная скорость вращательного движения материальной точки:

,

,

.

Линейная скорость вращательного движения материальной точки равна произведению радиуса траектории на угловую скорость

.

Вектор угловой скорости — это вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с осью вращения. Точное направление вектора определяется правилом правого винта: при вращении головки правого винта в направлении вращения точки или твердого тела, направление хода винта задает направление вектора .

Уравнение связи векторов ,

.

Скорость движения произвольной точки твердого тела

Полная скорость произвольной точки А твердого тела равна

,

здесь — скорость центра масс,

— радиус- вектор, направленный из центра масс в точку А.

Угловое ускорение

Угловое ускорение равно быстроте изменения вектора угловой ско­рости:

.

Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела

Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела равна сумме кинетических энергий всех материальных частиц, входящих в это тело:

,

,

,

I ‑ момент инерции твердого тела относительно оси вращения, совпадающего с вектором .

Момент импульса вращательного движения твердого тела

Момент импульса вращательного движения твердого тела равен сумме моментов импульса входящих в него материальных частиц:

; ,

.

В векторном виде этот результата выглядит так:

.

Последнее соотношение справедливо только для твердых тел, вращающихся относительно закрепленной оси, или тел симметричной формы.

Качение

Движение колеса или любого другого симметричного тела по поверхности с вращением называется качением.

Качение без проскальзывания — это движение, когда скорость катящегося колеса в точке контакта с поверхностью равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром вращения, т.к. в данный момент времени остальные точки колеса проворачиваются относительно мгновенного центра вращения.

,

.

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр

,

здесь m — масса стержня, — длина стержня.

Момент инерции тонкого обруча относительно оси, перпендикулярной его плоскости ,

здесь — масса обруча,

— радиус.

Момент инерции тонкого диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости

.

Момент инерции тонкого диска относительно оси, лежащей в плоскости диска

.

Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей че­рез его центр.

.

Уравнение моментов для твердого тела

Уравнение моментов связывает руг с другом момент импульса и момент силы:

,

здесь — быстрота изменения момента импульса, — момент силы, — момент инерции, — угловая скорость.

Из уравнения моментов силы следует, что элементарное приращение момента импульса равно:

; .

Моменты сил, действующие на движущееся с ускорением колесо

— момент силы, создаваемый приводным механизмом двигательного устройства,

— момент силы трения.

Уравнение моментов для колеса: .

При ; , колесо вращается ускоренно.

Уравнения движения твердого тела

Для описания движения твердого тела необходимо использовать два уравнения, каждое из которых описывает свой путь движения.

Поступательное движение описывается II-м законом Ньютона для центра масс т.т.:

,

здесь — — внешняя сила, действующая на т.т. в точке ее приложения, M — масса тела, — ускорение, — скорость центра масс.

Вращательное движение описывается уравнением моментов:

здесь — момент инерции, — угловое ускорение, — момент внешней силы относительно центра масс.

Скатывание цилиндра с наклонной плоскости

Уравнение движения центра масс: .

Уравнение моментов: .

Условия непроскальзывания цилиндра в точке А: .

Ускорение, с которым скатывается цилиндр: .

В приведенных формулах I — момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс цилиндра.

Закон сохранения момента импульса твердого тела или тела, форма которого меняется относительно оси вращения

Момент импульса тела сохраняется, если на него не действуют внешние силы: , .

Гироскоп - это массивное быстровращающееся осесимметричное тело.

При действии на гироскоп момента внешних сил происходит регулярная прецессия: ось вращения гироскопа сама начинает вращаться (прецессировать) в пространстве.

Скорость угловой прецессии связана с моментом им­пульса и моментом силы соотношением:

.

Траектория движения центра масс при прецессии:

.

Работа момента силы

При вращении точи или твердого тела момент силы совершает работу, равную

.

Мощность момента силы равна:

.

Полная кинетическая энергия движущегося твердого тела

.