2.2. Основные понятия динамики материальной точки.

Сила — количественная мера действия одного тела на другое.

Действие сил проявляется в двух формах:

в деформациях;

в ускоренном движении.

Сила упругости возникает при деформации тел и зависит от степени деформации. Для малых упругих деформаций справедлив закон Гука:

,

где - сила деформации;

- величина деформации.

Примеры сил упругости:

сила реакции опоры — сила, действующая со стороны опоры на тело;

сила нормального давления на опору;

сила натяжения - сила, действующая вдоль нити, троса и т. д.

С ила всемирного тяготения (Закон Ньютона).

,

здесь и - электрические заряды точечных частиц,

— расстояние между ними;

— гравитационная постоянная.

Сила электростатического взаимодействия

,

здесь и - электрические заряды точечных частиц,

— расстояние между ними;

.

Сила Лоренца — это сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле и равная:

,

здесь - электрический заряд частицы;

- вектор скорости;

— индукция магнитного поля.

Направление действия определяется правилом левой руки: силовые линии индукции входят в ладонь, сама ладонь сориентирована по вектору скорости, большой палец, оттопыренный под к ладони указывает направление .

Силы трения

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого, определяется характером взаимодействия поверхностей трущихся тел и равна:

,

Здесь - коэффициент трения, зависит от материала и качества обработки поверхностей;

- сила нормального давления.

С ила трения покоя — это сила, которая возникает при попытке сдвинуть покоящееся тело вдоль поверхности другого. Сила трения покоя возникает как противодействие приложенной внешней силе и равна ей до тех пор, пока тело покоится:

.

Инерциальные системы отсчета - это системы, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно или покоятся.

Масса тела — это мера инертности тела, т. е. мера способности тела сохранить свое предыдущее состояние при действии силы.

Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость:

.

Первый закон Ньютона (закон инерции): в инерциальных системах отсчета материальные тела движутся равномерно и прямолинейно или покоятся, если на них не действуют никакие силы или действие сил скомпенсировано.

Второй закон Ньютона: в инерциальных системах отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна сумме сил, действующих на это тело:

.

Второй закон Ньютона для тел, масса которых остается постоянной:

или .

Отсюда следует, что для тел постоянной массы ускорение тела пропор­ционально действующей силе и обратно пропорциональна массе.

Элементарный импульс силы:

.

Полный импульс силы — это сумма элементарных импульсов силы за все время действия:

.

Связь импульса материальной точки с импульсом силы:

.

Уравнение движения материального тела в декартовых координатах:

.

Уравнение статического равновесия материальных тел:

.

В состоянии статического равновесия сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.

Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы:

,

,

здесь - плечо силы — кратчайшее расстояние между линией действия силы и началом системы отсчета.

М омент импульса силы — это физическая величина, равная векторно­му произведению радиус-вектора точки приложения импульса на вектор импульса:

.

Уравнение моментов

Уравнение моментов связывает момент силы с моментом импульса:

.

Из последнего выражения видно, что скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту силы, действующей на эту точку.

Момент импульса материальной точки, движущейся по окружности:

.

Работа постоянной силы А равна:

, здесь - перемещение;

- сила;

- угол между направлением действия силы и перемещением.

Элементарная работа ‑ это работа, совершаемая силой на бесконечно малом перемещении :

.

Полная работа — это сумма всех элементарных работ, совершенная при движении материальной точки. Полная работа равна интегралу от элементарных работ:

,

з десь буква под интегралом указывает на то, что интеграл берется вдоль траектории движения.

Потенциальные силы — это особый класс сил, работа которых не зависит от формы пути, а зависит только от положения конечной и начальной точек перемещения.

Для всех трех путей

.

Потенциальная энергия — это способность потенциальных сил совершать работу. Потенциальная энергия связана с работой соотношением:

,

здесь — работа по перемещению материальной точки из положе­ния 1 в положение 2;

и — потенциальная энергия в т.1 и т.2;

- изменение потенциальной энергии.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия покоящихся или медленно движущихся по сравнению со скоростью света материальных точек:

,

здесь все обозначения такие же как в формуле для силы гравитационного взаимодействия.

Потенциальная энергия тел вблизи поверхности Земли:

,

— высота над поверхностью. Земли;

— ускорение свободного падения.

Последняя формула легко получается из предыдущей в предположении, что , здесь — радиус Земли.

Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия покоящихся или медленно движущихся точечных электрических зарядов:

.

В этой формуле все обозначения, как и в формуле для силы Кулона.

Потенциальная энергия упруго деформируемой пружины:

.

Мощность равна быстроте изменения работы:

,

, .

Для прямолинейного движения:

.

Так как численно равна пути, пройденному материальной точкой за единицу при равномерном движении, то мощность численно равна работе, совершенной силой за единицу времени.

Кинетическая энергия ‑ это энергия, которой обладает материальная точка из-за своего движения:

.

Связь кинетической энергии и работы:

,

.

Из последней формулы видно, что работа силы может увеличивать кинетическую энергию и, наоборот, за счет кинетической энергии тела может совершаться работа.

Связь между кинетической и потенциальной энергией при движении в поле потенциальных сил:

и ,

отсюда следует, что

и

.

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий материальной точки:

.

При движении в поле потенциальных сил

, .

Равенство дифференциала от Е нулю означает, что сумма постоянна. Закон сохранения полной механической энергии материальной точки: при движении в поле потенциальных сил полная механическая энергия сохраняется.

Центральными силами называются силы, линия действия которых совпадает по направлению с радиус-вектором системы отсчета, в случае, когда силовой центр совпадает с началом системы отсчета.

— сила, действующая на тело в точке А

.

Момент силы центральной силы равен нулю:

.

Сохранение момента импульса материальной точки

При движении материальной точки в поле центральной силы момент импульса сохраняется , так как момент силы равен нулю:

, .

2.3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК.

Центром масс системы материальных точек является точка пространства, радиус-вектор и координаты которой определяются следующим образом:

,

где - масса -ой частицы,

- ее радиус-вектор.

Полный импульс системы материальных точек равен геометрически сумме всех импульсов материальных точек:

.

Связь полного импульса материальных точек с радиус-вектором центра масс

; ,

здесь - полная масса системы материальных точек,

- скорость движения центра масс.

Сохранение полного импульса замкнутой системы материальных точек

В замкнутой системе полный импульс сохраняется:

,

.

Полная механическая энергия системы материальных точек

Полная механическая энергия системы материальных точек равна сумме механических энергий точек, входящих в эту систему:

,

здесь - потенциальная энергия -частицы системы с частицей.

Кинетическая энергия центра масс системы материальных точек:

.

Кинетическая энергия системы материальных точек относительно центра масс:

.

Внутренняя энергия системы материальных точек

Сумма кинетической энергии системы материальных точек относительно центра масс и полной потенциальной энергии взаимодействия этих точек есть внутренняя энергия системы:

,

.

Сохранение внутренней энергии системы материальных точек

В замкнутой системе материальных точек при действии только потенциальных сил внутренняя энергия сохраняется:

,

Последнее соотношение показывает, что при сохранении внутренней энергии кинетическая энергия относительного движения может переходить в потенциальную энергию взаимодействия и наоборот.

Момент импульса центра масс

Момент импульса центра масс равен векторному произведению радиус-вектора центра масс и полного импульса системы:

.

Момент импульса относительного движения системы материальных точек

Момент импульса системы материальных точек, связанный с относительным движением точек относительно центра масс равен:

,

здесь - радиус-вектор точки относительно центра масс,

- относительная скорость этой точки.

Полный момент импульса системы материальных точек

Сумма момента импульса центра масс системы и момента импульса относительного движения точек равна полному моменту импульса системы

.

Момент равнодействующей силы

,

здесь - радиус-вектор центра масс,

- сумма всех внешних сил, действующих на материальную точку системы.

Суммарный момент внешних сил относительно центра масс

.

Уравнения моментов для системы материальных точек:

.

.