1.2.3. Переведення цілого числа з десяткової системи числення в р-ічну

Для виконання подібних перетворень використовується декілька способів. Один з них полягає у наступному. Запишемо відоме число А₁₀ , представлене в десятковій системі числення в умовній Р-ій системі числення, де коефіцієнти а_n поки що невідомі:

А₁₀ = a_n  Pⁿ + …+ a₁  P¹ + a₀ .

Розділивши праву і ліву частини на Р, отримаємо ціле число

a_n  P^n-1 + …+ a₁

і залишок, величина якого не перевищує значення Р – 1. Таким шляхом отримується остання цифра запису числа в Р-ічній системі числення.

Виконуючи аналогічне ділення десяткового числа n разів, можемо отримати всі невідомі коефіцієнти Р-ічної системи числення.

Приклад 1.7. Перевести число 123₁₀ в трійкову систему числення.

Розв’язання. Послідовно виконується операція ділення числа 123 на число 3.

123	:	3	=	41	+	залишок 0
41	:	3	=	13	+	залишок 2
13	:	3	=	4	+	залишок 1
4	:	3	=	1	+	залишок 1
1	:	3	=	0	+	залишок 1

Записуючи значення залишків знизу вверх, отримаємо число 123₁₀ у трійковій системі числення, тобто 123₁₀ = 11120₃.

Переведення десяткового числа в двійковий код виконується шляхом послідовного ділення його на 2, а залишки (0 або 1), що мають місце після ділення на кожному кроці, створюють двійковий код перетворюваного числа, починаючи з молодшого розряду.

Приклад 1.8. Перетворити у двійковий код число 105₁₀ .

Розв’язання. Операція перетворення виконується у послідовності, приведеній нижче.

105	:	2	=	52	+	залишок 1 = а0
52	:	2	=	26	+	залишок 0 = а1
26	:	2	=	13	+	залишок 0 = а2
13	:	2	=	6	+	залишок 1 = а3
6	:	2	=	3	+	залишок 0 = а4
3	:	2	=	1	+	залишок 1 = а5
1	:	2	=	0	+	залишок 1 = а6

Тобто, 105₁₀ = A₂ = a₆ a₅ a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ = 1101001₂ .

Типові помилки при реалізації такого алгоритму наступні: порушення порядку запису цифр, що одержуються; неправильне вписування крайньої ліворуч цифри.

Використовуючи ступені числа 2 з прикладу 1.5, скористаємось спрощеним способом переводу числа А₁₀ у двійкову систему числення. Дійсно, можемо записати нерівності

2⁷ > 105 > 2⁶.

Звідси витікає, що двійкове число представляється 7-ма розрядами, старший з яких 2⁶ = 64. Оскільки різниця 105 – 64 = 41 знаходиться в інтервалі 2⁶ > 41 > 2⁵, то стверджуємо, що і наступний по старшинству розряд – шостий (2⁵ = 32) – дорівнює 1. Наступна різниця 41 – 32 = 9 = 1001₂. П’ятий розряд дорівнює нулю, і в результаті отримуємо ту ж саму відповідь.

Переведення числа А, що має дробову частину, з десяткової системи числення у двійкову має ту особливість, що ціла і дробова частини переводяться окремо.

Сформулюємо тепер правило переводу дробової частини з десяткової системи числення в Р-ічну. Знову представимо її у розгорнутому вигляді:

А₁₀ = a_-1  P^-1 + a_-2  P^-2 ….+ a_-k  P^-k +… (1.12)

Перемножуючи ліву і праву частини (1.12) на Р в правій частині виразу отримуємо:

a_-1 + a_-2  P^-2 … + a_-k  P^-k + … (1.13)

З отриманого результату можемо зробити висновок, що перша цифра a_-1 дробової частини числа А в Р-ічній системі числення дорівнює цілій частині результату перемноження десяткової дробової частини на Р. Після чергового перемноження залишку дробової частини на Р отримаємо значення a_-2:

(a_-2  P^-1 + …+ a_-k  P^-k+1 + ...)  Р.

Цей процес продовжується до тих пір, поки дробова частина результату перемноження лівої частини не стане рівною нулю або поки не буде виділений період повторності цифр.

Приклад 1.9. Перевести число А = 0,375₁₀ в двійкову систему числення.

Розв’язання. Виконуємо операцію множення в приведеній нижче послідовності.

0,375	×	2	=	0,75		0 – перша цифра результату
0,75	×	2	=	1,5		1 – друга цифра результату
0,5	×	2	=	1		1 – остання цифра результату

Внаслідок виконання перетворень отримали результат 0,375₁₀ = 0,011₂ .

Приклад 1.9. Перевести десяткове число А = 0,109375₁₀ у шістнадцяткову систему числення.

Розв’язання. Виконуємо операцію множення в приведеній нижче послідовності.

0,109375	×	16	=	1,75		1 – перша цифра результату
0,75	×	16	=	12		12 = С – остання цифра результату

В результаті отримана відповідь: 0,109375₁₀ = 0,1С₁₆ .

Переведення числа з однієї недесяткової системи числення в аналогічну іншу виконується шляхом перетворення Р-ічної системи числення в десяткову, після чого виконується друга частина операції. Виключення складає лише переведення з двійкової системи числення в шістнадцяткову і навпаки.