1.6.6. Геометрична інтерпретація логічних функцій

Однією з форм геометричної інтерпретації логічних функцій є використання карт Карно, представлених у ДДНФ (ДКНФ).

Карта Карно – це компактна форма представлення таблиці істинності логічної функції із застосуванням для позначення (кодування) комбінацій змінних циклічного коду Грея.

Карта для двох логічних змінних наведена на рис. 1.16. Особливість карти Карно полягає в тому, що по горизонталі та по вертикалі задаються коор­динати клітинок, якими виступають аргументи логічної функції. Тому кожна клітина має свою координату – 00, 01, 10, 11 – яка може бути представлена відповідною двійковою або десятковою цифрою. Значення функції записуються в відповідних клітинах нулями та одиницями. Наприклад, логічна функція зображена двома одиницями і двома нулями у відповідних клітинах карти Карно (рис. 1.16).

При використанні карт Карно для функцій з більшою кількістю логічних змінних кількість клітин у карті зростає відповідно до формули

N = 2ⁿ.

Приклад 1.29. Функцію, що приведена в скороченій канонічній формі:

,

зобразити у вигляді карти Карно.

Розв’язання. Оскільки числові величини мінтермів перевищують число 7 і знаходяться в межах 15, то приведена логічна функція має чотири змінні, які представимо як х₃ , х₂ , х₁ , х₀ . Карта Карно для чотирьох змінних має вигляд, приведений на рис. 1.17.

З карти Карно також легко перейти до табличної форми запису і навпаки.

Приклад 1.30. Зобразити карту Карно для функції, що представлена в табл. 1.6.

Розв’язання. Відповідна карта Карно приведена на рис. 1.18.

Якщо задана функція неповністю визначена, то, подібно до таблиці, у відповідних клітинах записується знак невизначеності, що дає можливість повністю відобразити всі властивості функції.

Ще однією формою геометричної інтерпретації логічних функцій, яка досить широко використовується останнім часом, є n-вимірні куби, або кубічні комплекси.

На рис. 1.19 приведені геометричні зображення n-вимірного куба для різних значень n, що відповідають словам двійкового коду. Кожна вершина відображає одне кодове слово. Наприклад, функція у = х відображається на рис. 1.19, а вершиною з позначенням 1.

Функція на рис. 1.19, б відображається двома вершинами, з’єднаними прямою лінією (ребром кубу).

Кожна вершина куба, в якій функція має мінтерм, називається нульовим кубом (0-кубом). Функція, яка містить декілька мінтермів. зображається в просторі нульовим кубічним комплексом K₀ .

Якщо два нульових куби комплексу K₀ відрізняються тільки по одній змінній, то два сусідніх мінтерми створюють одиничний куб (1-куб), який зображається геометрично як ребро n-вимірного куба. Множина одиничних кубів створюють одиничний кубічний комплекс K₁ .

Аналогічно, якщо два одиночних куба комплексу K₁ відрізняються тільки по одній координаті, то вони створюють двійковий куб (2-куб). Геометрично таке зображення є гранню n-вимірного куба. Множина двійкових кубів створюють кубічний комплекс K₂ .

Об’єднання кубічних комплексів K₀ , K₁ , K₂ , …, K_m логічної функції у (х₀ … х_n) створюють її кубічний комплекс:

.

Приклад 1.31. Для логічної функції

записати кубічні комплекси.

Розв’язання. Нульовий кубічний комплекс має п’ять членів за кількістю мінтермів логічної функції:

K₀ = (011, 100, 101, 110, 111).

Порівнюючи записані 0-куби, знаходимо, що сусідніми є мінтерми 3 і 7, які відрізняються лише старшим розрядом. Тому вони створюють 1-куб виду -11. Аналогічно, мінтерми 4 і 5 створюють 1-куб виду 10, а мінтерми 4 і 6 створюють 1-куб виду 1-0.

Повний аналіз показує, що одиничний кубічний комплекс матиме вигляд:

K₁ = (-11, 10-, 1-0, 11-, 1-1).

Двійковий кубічний комплекс містить один 2-куб:

K₂ = (1- -).

Графічна інтерпретація ґрунтується на використанні умовних позначень логічних елементів, які є стандартними.

На рис. 1.20 приведені умовні позначення, характерні для стандартів, прийнятих у країнах СНД. Використання приведених умовних позначень дає можливість будувати складні логічні та принципові схеми електронних пристроїв. Логічні елементи, умовні зображення яких приведені на рис. 1.20, реально виготовляються в різних серіях цифрових мікросхем.

Приклад 1.32. Побудувати схему, що відповідає функції

Розв’язання. Використовуючи лише однофункціональні логічні елементи, будується схема, що приведена на рис. 1.21.

Рис.1.21 Рис.1.22

Ще однією формою представлення логічних функцій є часові діаграми, які відображають часові співвідношення між вхідними логічними змінними і вихідною функцією (рис. 1.22). Часові діаграми зображаються з урахуванням фронтів імпульсних послідовностей з відображенням моментів початку перехідних процесів і часто мають допоміжні вказівні стрілки, які уточнюють хід перехідних процесів у схемі.

На рис. 1.22 приводиться приклад часових діаграм для логічної схеми, зображеної на рис.1.21, що реалізує операцію цифрового компаратора. У випадку, що розглядається, приводяться лише вхідні та вихідні сигнали. При визначенні інтервалів часових затримок, тривалості перехідних процесів приводиться більша деталізація часових діаграм.