1.2. Системи числення

1.2.1.Основні визначення

Система числення – це спосіб запису (зображення) чисел.

Системи числення, в яких ваговий коефіцієнт кожної цифри залежить від її положення у послідовності цифр, що зображає число, називаються позиційними. У непозиційних системах значення кожної цифри постійне і не залежить від місця її розташування в числі. Всі системи числення, які використовуються в цифровій схемотехніці, є позиційними.

При розгляді позиційних систем важливим виступає поняття базису. Базис системи числення – це послідовність чисел, яка задає значення (вагу) кожної цифри в залежності від місця її розміщення.

Приклади базисів:

• десяткової системи числення: 10⁰, 10¹, 10², ..., 10ⁿ, ...;

• двійкової – 2⁰, 2¹, 2², ..., 2ⁿ, ...;

• вісімкової – 8⁰, 8¹, 8², ..., 8ⁿ, ...;

• шістнадцяткової – 16⁰, 16¹, 16², ..., 16ⁿ, ...

У загальному плані для позиційних систем числення базис можна записати в вигляді послідовних членів геометричної прогресії:

...Р ^– m, ..., Р ^– 2, Р ^{– 1}, Р⁰, Р¹, Р², ..., Рⁿ, ...

Число Р називається основою системи числення. У подальшому при розгляді систем числення основа зображатиметься у вигляді нижнього індексу в кінці числа.

Сукупність різних цифр, які використовуються в позиційній системі числення для запису чисел, називається алфавітом системи.

Будь-яке натуральне число А в Р-ічній системі числення записується у розгорнутій і згорнутій формах запису. Наприклад, число А в Р-ічній системі числення представляється в згорнутій формі так:

А = (а_n а_{n – 1} …а₁ а₀ а_-1 а_-2 …а_-k)_P ; (1.10)

у розгорнутій:

А = а_n  Рⁿ + a_n-1  P^n-1 + … + a₁  P¹ + a₀  P⁰ + a_-1  P^-1 + a_-2  P^-2 + … + a_-kP^-k

(1.11)

Приклад 1.1. Представимо конкретне число А в згорнутій і розгорнутій формах десяткової системи числення.

Розв’язання. Запис числа А в згорнутій формі: А = 837,25₁₀ ;

в розгорнутій формі: А = 8  10² + 3  10¹ + 7  10⁰ + 2  10^-1 + 5  10^-2.

Приклад 1.2. Запис числа 61₁₀ в різних системах числення.

Розв’язання. Запис числа 61₁₀ у двійковій системі числення – 111101₂ ;

у трійковій – 2021₃ ;

у четвірковій – 331₄ ;

у шістнадцятковій – 3D₁₆ ;

з основою 61 – 10₆₁.

Кількість цифр в алфавіті Р-ічної системи числення дорівнює основі системи числення, починаючи з нуля. Тому алфавітом Р-ічної системи числення є натуральний ряд чисел від нуля до Р^і-1. В якості алфавіту систем числення прийнято використовувати:

• арабські числа, якщо основа менше 10;

• арабські числа і букви латинського алфавіту при основі до 36.

Якщо основа більше 36, то загальних правил не існує.

Приклад 1.3. Приведіть алфавіт шістнадцяткової системи числення.

Розв’язання. Алфавіт шістнадцяткової системи числення має вигляд: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

1.2.2. Переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу

Якщо число А представлене в Р-ічній системі числення в формі (1.10), то для переведення в десяткову систему числення його необхідно представити в формі (1.11). Для отримання значення цього багаточлена, записаного в десятковій системі числення, необхідно число Р і коефіцієнти при ступенях Р (цифри алфавіту Р-ічного числа) записати у вигляді десяткових чисел і всі обчислення провести в десятковій системі.

Приклад 1.4. Переведемо число А = С20В₁₆ в десяткову форму запису.

Розв’язання. Враховуючи, що С = 12, В = 11, можемо записати:

А = 12  16³ + 2  16² + 0  16¹ + 11  16⁰ = 49675₁₀.

При обчисленні значення Р-ічного числа за розгорнутою формою зручно користуватися схемою Горнера, яка дозволяє отримати результат з використанням мінімального числа арифметичних операцій додавання і множення. Загальний вигляд її:

А = (...(((a_n  P + a_n-1) P + a_n-2) P + a_n-3) +…+ a₁) P + a₀ .

Приклад 1.5. Перевести двійкове число А = 11011₂ в десяткову систему числення.

Розв’язання. Запишемо число в розгорнутій формі:

А = 1  2⁴ + 1  2³ + 0  2² + 1  2¹ + 1  2⁰ = 2 (2² (2 +1) +1) +1 = 27.

При програмуванні як на мовах високого рівня, так і на мові Асемблера часто необхідно знати значення ступенів двійки до 16. У цифровій та мікропроцесорній техніці важливо пам’ятати ступені до 10. Приведемо їх, починаючи з 5:

2⁵ = 32; 2⁶ = 64; 2⁷ = 128; 2⁸ = 256; 2⁹ = 512; 2¹⁰ = 1024.

Знання цих чисел дає можливість більш спрощено розв’язувати задачі переведення десяткових чисел у двійковий код.

Приведене вище правило переведення цілих чисел у десяткову систему числення може бути використаним і для переведення дробових чисел.

Приклад 1.6. Перевести число А = 0,11₂ в десяткову систему числення.

Розв’язання. Запишемо число А в розгорнутій формі:

А = 1  2^-1 + 1  2^-2 = 0,75₁₀.

Формула (1.11) здебільшого використовується для переходу від системи числення з меншою основою до системи числення з більшою основою.

Ірраціональні дробові числа представляються у скороченій формі і переводяться аналогічно, або для них використовуються спеціальні алгоритми.