12. 5. Условия диагонализируемости оператора.
Теорема. Матрица оператора имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда базис пространства состоит из собственных векторов оператора .
Определение. Такой базис называется собственным базисом оператора .
Простые достаточные условия существования собственного базиса дает следующая:
Теорема. Если корни характеристического уравнения оператора действительны и различны (спектр оператора простой), то у оператора существует собственный базис, т.е. оператор диагонализируем.
12. 6. Комплексные корни характеристического уравнения.
Если спектр оператора не является простым, то у оператора может не быть базиса из собственных векторов. Рассмотрим, к какому каноническому виду приводится матрица оператора в случае, если среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни.
Пусть
комплексному собственному значению
соответствует собственный вектор
.
Тогда
(10.5).
Приравнивая в (10.5) по отдельности действительные и мнимые векторы, получим следующую систему уравнений:
(10.6).
Из
равенств (10.6) следует, что
является инвариантным двумерным
подпространством оператора
,
а матрица
ограничения
на подпространстве
в базисе
имеет следующий вид:
(10.7).
Если
спектр оператора содержит комплексные
корни, то в каноническом базисе каждой
паре сопряженных комплексных корней
соответствует блок вида
,
стоящий на диагонали его матрицы.
12. 7. Кратные корни.
Опишем канонический вид матрицы оператора в случае, если среди корней характеристического уравнения есть кратные действительные корни. Построение канонического базиса в этом случае сложно, и поэтому выходит за рамки курса.
Квадратная
матрица
порядка
,
имеющая вид:
называется
жордановой
клеткой порядка
.
Каждому
корню
кратности
(
)
соответствует канонический
блок
порядка
,
у которого на диагонали стоят жордановы
клетки
разных размеров, причем сумма размеров
таких клеток равна
.
Каноническая матрица оператора имеет следующий вид: на диагонали матрицы стоят все действительные простые (кратности 1) собственные значения оператора, канонические блоки , соответствующие кратным действительным корням, а также блоки вида , соответствующие парам комплексно сопряженных корней характеристического уравнения (кратные комплексные корни в данном курсе не рассматриваются).
16. Евклидовы пространства.
16.1. Определение евклидова пространства.
Определение.
Вещественное линейное пространство
называется евклидовым, если на нем
выделена симметричная положительно
определенная билинейная форма. Другими
словами, на пространстве
выделена билинейная форма
,
обладающая свойствами:
1).
=
;
2).
=
+
;
3).
для всех
.
Примеры. 1). Скалярное произведение в обычном трехмерном пространстве геометрических векторов превращает его в евклидово пространство.
В общем случае эту выделенную форму на произвольном пространстве тоже будем называть скалярным произведением.
2).
Пусть
- арифметическое векторное пространство
строк длины
.
Введем на
скалярное произведение следующим
образом. Если
,
,
то
.
Легко проверить, что эта форма билинейная,
симметричная и положительно определенная.
3).
Пусть
- линейное пространство функций,
непрерывных на отрезке
.
Можно задать скалярное произведение в
этом пространстве таким образом:
.
16.2. Длина вектора в евклидовом пространстве. Пусть - евклидово пространство со скалярным произведением .
Определение.
Длиной
(нормой) вектора
будем называть неотрицательное
действительное число
.
Заметим,
что если
,
то
.
Далее,
,
R.
Вектор
длины 1 называют нормированным. Любой
вектор можно нормировать, умножив его
на подходящее число, а именно для вектора
имеем:
.