- •Линейные пространства.
- •2. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •4. Базис, координаты, размерность.
- •5. Подпространства.
- •6. Линейные многообразия.
- •2. Линейные оболочки.
- •3. Линейные формы.
- •4. Сопряженное пространство.
- •5. Задание подпространств с помощью линейных форм.
- •6. Матричная запись линейных форм.
- •13. Линейные отображения и операторы.
- •12. 1. Канонический вид матрицы линейного преобразования.
- •12. 2. Инвариантные подпространства.
- •12. 3. Собственные векторы и собственные значения оператора.
- •12. 4. Характеристическое уравнение.
- •12. 5. Условия диагонализируемости оператора.
- •12. 6. Комплексные корни характеристического уравнения.
- •12. 7. Кратные корни.
- •16. Евклидовы пространства.
- •16.1. Определение евклидова пространства.
- •16.3. Неравенство Коши - Буняковского.
- •16.5. Ортонормированные базисы.
- •10. Прямая на плоскости.
- •11. Плоскость в пространстве.
- •1 2. Прямая в пространстве.
- •15. Билинейные и квадратичные формы.
- •15.3. Симметричные билинейные формы.
- •15.4. Квадратичные формы.
- •15.5. Канонический вид квадратичной формы.
- •17. Классификация линий и поверхностей 2-го порядка
6. Матричная запись линейных форм.
В данном курсе для описания различных действий над векторами, формами и другими объектами будет применяться матричная запись, использующая умножение матриц. Умножение произвольных матриц определяется через произведения матриц-строк на матрицы-столбцы. В рамках данного курса координаты векторов будем записывать в виде столбца, а коэффициенты линейной формы в виде строки. Тогда значение линейной формы l на векторе x запишем в виде произведения строки из коэффициентов линейной формы на столбец из координат вектора.
(2.4).
Приведенная формула (2.4) служит определением операции умножения матрицы-строки на матрицу-столбец. Умножение строки на столбец определено, только если длина строки совпадает с высотой столбца.
13. Линейные отображения и операторы.
13.1. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому в линейном пространстве. Вернемся к линейным пространствам вообще – произвольным и произвольной (но конечной) размерности. До сих пор мы рассматривали пространства с некоторым фиксированным базисом. В этом базисе каждый вектор имел свои координаты, которые определялись однозначно. Посмотрим, как изменятся координаты вектора, если один базис линейного пространства заменить другим. Итак, пусть в линейном пространстве зафиксирован базис . Произвольный вектор имеет некоторое разложение по этому базису: .
Возьмем теперь другой базис . Каждый вектор нового базиса имеет свое разложение по старому базису:
Матрица , составленная из координат нового базиса в старом базисе, называется матрицей перехода:
.
Заметим, что –й столбец матрицы перехода – это столбец координат -го вектора нового базиса в старом базисе.
Теорема. Матрица перехода от одного базиса к другому невырождена, т.е. .
Доказательство предложения следует из того, что столбцы этой матрицы линейно независимы, поскольку являются координатами векторов нового базиса в старом базисе.
Пусть в новом базисе вектор имеет другие координаты:
.
Посмотрим, как связаны координаты в новом и старом базисах.
Так как координаты вектора определены однозначно, то:
Эти равенства можно записать в матричном виде:
,
или , где - это столбец координат вектора в старом базисе, а - столбец координат этого же вектора в новом базисе. Эту же формулу можно записать в виде , выразив новые координаты вектора через старые.
13.2. Линейные отображения. Пусть и - два линейных пространства, вообще говоря, различных (но оба пространства должны быть вещественными или оба комплексными). Назовем отображением линейного пространства в пространство закон, по которому каждому вектору из пространства ставится в соответствие единственный вектор из пространства . Кратко мы это будем записывать . Образ вектора при отображении будем обозначать .
Определение. Отображение называется линейным, если для любых векторов и любых чисел выполняется равенство .
Следует обратить внимание на то, что знак «+» в левой и правой частях равенства обозначает, вообще говоря, разные операции, поскольку и - различные пространства. То же самое относится и к операции умножения на число.
Очевидно, что любое линейное отображение переводит нулевой вектор пространства в нулевой вектор пространства .
Определение. Если , то линейное отображение называют линейным преобразованием, или линейным оператором.
Приведем некоторые примеры линейных отображений.
1). Пусть - линейное пространство и пусть - некоторое число (вещественное или комплексное в зависимости от того, каким является пространство ). Поставим каждому вектору из пространства в соответствие вектор . Получившееся отображение является линейным отображением , которое называется гомотетией.
2). Пусть - некоторое линейное пространство размерности . Выберем в нем базис. Сопоставим каждому вектору столбец его координат. Это соответствие является линейным отображением пространства в арифметическое линейное пространство Rn.
Если же сопоставить каждому вектору его первую координату, то мы получим линейное отображение R.
3). Зафиксируем матрицу размера х . Возьмем арифметическое линейное пространство столбцов Rn. Каждому элементу этого пространства поставим в соответствие столбец . Высота получившегося столбца равна . Мы получили линейное отображение из Rn в Rm.
4). Пусть - линейное пространство многочленов одной переменной . Каждому многочлену поставим в соответствие его производную по переменной . Поскольку производная многочлена является многочленом, мы получим линейное отображение этого пространства на себя.
Пусть - линейное отображение.
Определение. Множество образов всех векторов называется образом линейного отображения . Обозначение: .
Определение. Множество векторов , для которых , называется ядром отображения . Обозначение: .
Предложение. Ядро линейного отображения является подпространством в . Образ линейного отображения является подпространством в .
Доказательство. 1). Ядро линейного отображения не пусто: оно всегда содержит нулевой вектор. Если , т.е. , то в силу линейности отображения для любых чисел .
2). Нулевой вектор пространства принадлежит , так как является образом нулевого вектора. Далее, если , т.е. существуют векторы такие, что , то .
Предложение доказано.
Задача. В примерах 1)-4) найти ядро и образ каждого отображения.
13.3. Координатная запись линейных отображений. Пусть - линейное отображение. Зафиксируем базис в пространстве и базис в пространстве . Пусть - произвольный вектор, который в базисе имеет разложение , и пусть его образ имеет в пространстве разложение . В силу линейности отображения
.
Получается, что образ вектора при линейном отображении может быть найден по координатам этого вектора, если известны образы базисных векторов.
Каждый из векторов может быть разложен по базису :
Тогда
Поскольку координаты вектора определены однозначно, имеем:
Эти равенства можно записать в матричном виде:
. (*)
Матрицу размера х назовем матрицей линейного отображения в паре базисов и . Чтобы различить отображение и его матрицу в некотором базисе, будем отображение обозначать письменной латинской буквой, а его матрицу – печатной: отображение : , оно имеет матрицу в данном зафиксированном базисе. Образ любого вектора можно найти с помощью этой матрицы, умножив ее слева на столбец координат вектора.
Заметим, что для любой матрицы размера х существует линейное отображение, такое, что эта матрица является матрицей этого отображения в данной паре базисов.
Рассмотрим отдельно случай, когда линейное отображение является линейным оператором, действующим на -мерном пространстве . Зафиксируем базис в пространстве . Тогда матрица линейного оператора является квадратной и можно говорить об определителе этой матрицы. Заметим, что если , то . Это следует из того, что система линейных уравнений имеет единственное нулевое решение. Если же , то эта система имеет ненулевое решение, и в этом случае ядро оператора нетривиально.
Задача. Пусть - линейное пространство многочленов степени не выше . Очевидно, размерность этого пространства равна . Пусть - линейный оператор , сопоставляющий каждому многочлену его производную. Выберем в качестве базиса одночлены . Найдите матрицу оператора в этом базисе.
13.4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Посмотрим, как изменится матрица линейного отображения, если в пространствах и перейти к новым базисам. Пусть и - новые базисы. Обозначим через матрицу перехода от к , через - матрицу перехода от к . Тогда:
, .
Подставим в равенство (*):
.
Отсюда
.
Значит, при изменении базисов матрица этого отображения преобразуется в матрицу .
В случае, когда линейное отображение является линейным оператором, вместо пары базисов мы имеем один базис в пространстве . Тогда при замене этого базиса матрица оператора преобразуется по формуле .
Теорема. Определитель матрицы линейного оператора инвариантен, т.е. не меняется при переходе от одного базиса к другому.
Доказательство. Воспользуемся тем, что определитель произведения матриц равен произведению определителей:
Поскольку определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса, то можно говорить об определителе линейного оператора. Будем называть линейный оператор вырожденным, если его определитель равен нулю, и невырожденным в противном случае.