Линейные пространства.

Множество L называется линейным пространством, если в L введены операции сложения элементов и умножения элемента на число (линейные операции), обладающие следующими свойствами:

1а) (сложение коммутативно);

1б) (сложение ассоциативно);

1в) (существует нулевой элемент);

1г) (есть противоположный элемент);

2а) (особая роль единицы);

2б) (умножение на числа ассоциативно);

2в) (дистрибутивность суммы элементов);

2г) (дистрибутивность суммы чисел).

Эти свойства называются аксиомами линейного пространства.

Элементы линейного пространства называют также векторами, а само пространство  векторным. Линейное пространство называется действительным, если в определено умножение на действительные числа.

В дальнейшем, по умолчанию, термин пространство обозначает действительное линейное пространство.

Примеры линейных пространств.

1) Множества V₁, V₂, V₃ геометрических векторов на прямой, плоскости и в пространстве соответственно (линейные операции над геометрическими векторами определены по обычным правилам).

2) Множество упорядоченных наборов чисел . Набор называется арифметическим вектором, а числа – его координатами. При сложении векторов складываются их координаты, а при умножении вектора на число координаты умножаются на это число. Множество называется арифметическим или координатным - мерным пространством.

3) Множество многочленов степени не выше от одной переменной с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.

2. Линейная зависимость и независимость векторов.

Пусть  система векторов и  произвольные числа. Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной (очевидно, что она равна нулю).

Векторы называются линейно независимыми, если из равенства нулю их линейной комбинации следует, что все коэффициенты комбинации равны нулю , т.е. равна нулю только их тривиальная линейная комбинация.

Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов, равная нулю.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией других.

Любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима. Линейная зависимость двух геометрических векторов означает, что они коллинеарны; линейная зависимость трех векторов означает, что они компланарны.

Вопрос о линейной зависимости векторов пространства сводится к вопросу о существовании ненулевого решения однородной системы уравнений, коэффициенты которой равны соответствующим координатам векторов .

4. Базис, координаты, размерность.

Упорядоченная система векторов образует базис пространства , если каждый вектор однозначно представим в виде (1.1).

Равенство (1.1) называется разложением вектора по базису, а коэффициенты  координатами вектора в этом базисе.

Из однозначности разложения (1.1) следует, что система линейно независима. Так как каждый вектор является линейной комбинацией базисных векторов, то система линейно зависима для любого . Это значит, что базис является максимальной линейно независимой системой в пространстве . Число векторов в максимальной линейно независимой системе пространства называется его размерностью и обозначается . Число базисных векторов (и координат) равно размерности пространства.

Каждый вектор однозначно задается своими координатами в фиксированном базисе. Координаты векторов обладают свойством линейности, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Введение базиса позволяет перейти от абстрактных линейных операций в пространстве к обычным линейным операциям с координатами векторов. В рамках данного курса с целью применения матричного умножения координаты вектора будем записывать в виде столбца .

В пространстве определение координат фиксированного вектора в заданном базисе сводится к решению системы из линейных уравнений.

С другой стороны, если известны координаты векторов пространства, то соответствующий этим координатам базис канонический. Каноническим базисом называется базис, который состоит из векторов, у которых одна из координат равна 1, а остальные равны нулю. В некоторых пространствах (например, в пространстве ) легче сначала найти координаты векторов, а затем определить размерность пространства и построить базис.

Задачи. В каждом из пространств V₁, V₂, V₃, , выбрать некоторый базис и определить координаты векторов в этом базисе.