2. Линейные оболочки.

Стандартным способом построения подпространств является образование линейной оболочки заданной системы векторов.

Линейной оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Линейная оболочка является минимальным подпространством, которое содержит все векторы системы , поэтому ее называют пространством, натянутым на векторы . Линейная оболочка системы векторов не изменится, если из нее удалить линейно зависимые вектора. Пусть − максимальная линейно независимая подсистема системы векторов . Тогда . Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы называется ее рангом (обозначается ).

Размерность равна рангу системы , а в качестве базиса линейной оболочки можно взять произвольную максимальную линейно независимую подсистему .

3. Линейные формы.

Числовая функция векторного аргумента называется линейной формой на пространстве , если она обладает свойствами линейности, т.е. 1) ; 2) .

Выразим значение линейной формы через координаты векторов.

Пусть =  базис в и  разложение вектора по этому базису. Из линейности формы легко получить формулу: = . (2.1).

Величины (значения формы на базисных векторах) называются коэффициентами линейной формы. Линейная форма однозначно определена своими коэффициентами. Из (2.1) следует:

= (2.2).

4. Сопряженное пространство.

Линейные формы, как и любые функции, можно складывать и умножать на числа. Легко убедится, что множество всех линейных форм на пространстве относительно операций сложения и умножения на число образует линейное пространство. Это пространство называется сопряженным к пространству и обозначается .

Коэффициенты линейной формы однозначно её определяют и обладают свойством линейности, поэтому они являются координатами линейной формы. Соответствующие этим координатам базисные формы определяются соотношениями . Базис пространства называется сопряженным к базису пространства . Очевидно . Каждый вектор определяет линейную форму на по формуле .

Таким образом , т.е. пространства L и взаимно сопряжены.

5. Задание подпространств с помощью линейных форм.

Выше было описано построение подпространств с помощью образования линейной оболочки системы векторов (см. п.2). Рассмотрим еще один способ задания подпространств − с помощью линейных форм. Система линейных форм определяет подпространство , состоящее из векторов, на которых все формы системы обращаются в ноль. В базисе пространства подпространство задается линейной, однородной относительно координат вектора , системой уравнений , или подробнее:

(2.3),

где − коэффициенты линейной формы .

Вопрос о размерности и базисе подпространства (пространства решений системы (2.3)) будет рассмотрен ниже, на лекции, посвященной системам линейных уравнений. Если векторы образуют базис пространства решений, то подпространство может быть задано в виде линейной оболочки векторов .