- •Линейные пространства.
- •2. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •4. Базис, координаты, размерность.
- •5. Подпространства.
- •6. Линейные многообразия.
- •2. Линейные оболочки.
- •3. Линейные формы.
- •4. Сопряженное пространство.
- •5. Задание подпространств с помощью линейных форм.
- •6. Матричная запись линейных форм.
- •13. Линейные отображения и операторы.
- •12. 1. Канонический вид матрицы линейного преобразования.
- •12. 2. Инвариантные подпространства.
- •12. 3. Собственные векторы и собственные значения оператора.
- •12. 4. Характеристическое уравнение.
- •12. 5. Условия диагонализируемости оператора.
- •12. 6. Комплексные корни характеристического уравнения.
- •12. 7. Кратные корни.
- •16. Евклидовы пространства.
- •16.1. Определение евклидова пространства.
- •16.3. Неравенство Коши - Буняковского.
- •16.5. Ортонормированные базисы.
- •10. Прямая на плоскости.
- •11. Плоскость в пространстве.
- •1 2. Прямая в пространстве.
- •15. Билинейные и квадратичные формы.
- •15.3. Симметричные билинейные формы.
- •15.4. Квадратичные формы.
- •15.5. Канонический вид квадратичной формы.
- •17. Классификация линий и поверхностей 2-го порядка
17. Классификация линий и поверхностей 2-го порядка
17.1. Сформулируем важную теорему, позволяющую нам классифицировать линии и поверхности 2-го порядка.
Теорема. В евклидовом пространстве для любой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором эта форма имеет канонический вид.
Эту теорему мы примем без доказательства.
Мы будем рассматривать обычное двумерное (или трехмерное) пространство с привычным для нас скалярным умножением геометрических векторов. Теорема утверждает, что любая квадратичная форма на плоскости (или в пространстве) приводится к каноническому виду, причем канонический базис является ортонормированным: базисные векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.
17.2. Линии 2-го порядка. Произвольная линия 2-го порядка на плоскости задается уравнением вида . (*)
Первые три слагаемых в левой части уравнения задают квадратичную форму
.
Согласно теореме существует ортонормированный базис плоскости, в котором форма принимает канонический вид: .
В этом базисе уравнение линии будет выглядеть следующим образом:
.
Теперь рассмотрим различные случаи.
1 случай. , т.е. коэффициенты и одного знака. Будем считать, что и (в противном случае умножим все уравнение на -1). Выделением полных квадратов легко привести уравнение к виду
(это соответствует сдвигу начала координат).
А). При уравнение можно записать в виде . Это уравнение эллипса.
Б). При получаем . Это пара мнимых пересекающихся прямых . На плоскости есть только единственная точка, удовлетворяющая этому уравнению – точка .
В). При получаем . Это мнимый эллипс. На плоскости нет точек, удовлетворяющих уравнению.
2 случай. , т.е. коэффициенты и разных знаков. Будем считать, что , . Опять выделяем полные квадраты и получаем .
А). При уравнение можно записать в виде . Это уравнение гиперболы. Стоит отметить, что асимптотами гиперболы являются прямые . Случай аналогичен: поменяв базисные векторы, получим снова то же уравнение.
Б). При уравнение примет вид . Это пара пересекающихся прямых .
3 случай. . Будем считать, что . Заметим, что . Выделим полный квадрат из слагаемых, содержащих . Получим .
А). Если , то преобразуем уравнение так: , .
Это уравнение параболы.
Б). Если , то уравнение принимает вид .
Если , то уравнение можно записать в виде . Это пара параллельных прямых .
Если , то имеем - пара совпадающих прямых .
Если , то уравнение можно записать в виде . Это пара мнимых параллельных прямых .
Итак, возможны 9 различных вариантов линий 2-го порядка, в двух из которых множество точек плоскости пусто.
17.3. Классификация поверхностей второго порядка. Уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:
.
Свяжем с этим уравнением квадратичную форму
.
Согласно теореме существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. В этом базисе уравнение поверхности запишется так:
.
Рассмотрим различные случаи.
1 случай. Ранг квадратичной формы равен 3, т.е. коэффициенты не равны нулю. Выделяя полные квадраты, приведем уравнение к виду: .
А). .
А1). . Уравнение принимает вид . Это уравнение эллипсоида. Любые сечения этой поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям, являются эллипсами.
А2). . Уравнение принимает вид . Этому уравнению удовлетворяет единственная точка пространства - точка .
А3). . Мы получаем уравнение так называемого мнимого эллипса . Множество точек, ему удовлетворяющих, пусто.
Б). .
Б1). . Уравнение принимает вид . Это однополостный гиперболоид. Его горизонтальные сечения являются эллипсами, а сечения координатными плоскостями и - гиперболы.
Б2). . Уравнение приводится к виду и задает конус.
Б3). . В этом случае получим , соответствующей поверхностью является двуполостный гиперболоид.
В). Случай сводится к случаю Б) перестановкой базисных векторов.
Г). Случай полностью аналогичен случаю А). Следует только умножить все уравнение на -1.
2 случай. Ранг квадратичной формы равен 2, т.е. один из коэффициентов равен нулю. Будем считать, что . После выделения полных квадратов получим уравнение вида .
А). Если , то окажется, что уравнение не содержит переменной . Это означает, что поверхность является цилиндром.
Определение. Поверхность называется цилиндром, параллельным прямой , если из того, что точка принадлежит , следует, что все точки прямой, проходящей через точку и параллельной , принадлежат поверхности .
Горизонтальным сечением такого цилиндра может быть эллипс, гипербола, пара пересекающихся прямых, точка или пустое множество в зависимости от того, какую линию на плоскости задает уравнение .
Б). Пусть .
Б1). Если , то уравнение приводится к виду . Это уравнение эллиптического параболоида.
Б2). Если , то уравнение приводится к виду . Это уравнение задает гиперболический параболоид. Его горизонтальные сечения – гиперболы. Сечение плоскостью является параболой, ветви которой направлены вверх, а сечение плоскостью является параболой, ветви которой направлены вниз.
3 случай. Ранг квадратичной формы равен 1. В этом случае уравнение имеет вид
.
Выделив полный квадрат из первых двух слагаемых, придем к уравнению
.
А). Пусть . Сделаем замену координат:
, .
Заметьте – матрица перехода ортогональна, базис остался ортонормированным. В этом базисе уравнение выглядит так: .
Из этого уравнения легко получить .
Мы получили уравнение параболического цилиндра.
Б). Пусть теперь , т.е. коэффициенты и равны нулю. Тогда от уравнения останется .
Б1). При условии уравнение можно записать в виде , и мы получим пару мнимых параллельных плоскостей .
Б2). При условии уравнение превращается в уравнение и задает пару совпадающих плоскостей .
Б3). При условии уравнение можно записать в виде , и мы получим пару параллельных плоскостей .