- •Линейные пространства.
- •2. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •4. Базис, координаты, размерность.
- •5. Подпространства.
- •6. Линейные многообразия.
- •2. Линейные оболочки.
- •3. Линейные формы.
- •4. Сопряженное пространство.
- •5. Задание подпространств с помощью линейных форм.
- •6. Матричная запись линейных форм.
- •13. Линейные отображения и операторы.
- •12. 1. Канонический вид матрицы линейного преобразования.
- •12. 2. Инвариантные подпространства.
- •12. 3. Собственные векторы и собственные значения оператора.
- •12. 4. Характеристическое уравнение.
- •12. 5. Условия диагонализируемости оператора.
- •12. 6. Комплексные корни характеристического уравнения.
- •12. 7. Кратные корни.
- •16. Евклидовы пространства.
- •16.1. Определение евклидова пространства.
- •16.3. Неравенство Коши - Буняковского.
- •16.5. Ортонормированные базисы.
- •10. Прямая на плоскости.
- •11. Плоскость в пространстве.
- •1 2. Прямая в пространстве.
- •15. Билинейные и квадратичные формы.
- •15.3. Симметричные билинейные формы.
- •15.4. Квадратичные формы.
- •15.5. Канонический вид квадратичной формы.
- •17. Классификация линий и поверхностей 2-го порядка
5. Подпространства.
Подпространством линейного пространства называется такое подмножество , которое само является линейным пространством. Подмножество является подпространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно линейных операций, т.е. из .
Так как любая максимальная линейно независимая система векторов подпространства является также линейно независимой системой и в пространстве (не обязательно максимальной), то . Если , то .
Задачи. Привести примеры подпространств в каждом из пространств V1, V2, V3, , и определить их размерности.
6. Линейные многообразия.
Подпространствами в V3 являются только те прямые и плоскости, которые проходят через начало координат. Чтобы включить в круг изучаемых нами объектов любые прямые и плоскости, заметим, что последние получаются из прямых и плоскостей, проходящих через начало координат с помощью сдвига (параллельного переноса). Проведем аналогичное построение в произвольном пространстве.
Пусть подпространство в , и . Множество векторов , представимых в виде , где , называется линейным многообразием и обозначается . Линейное многообразие называют также гиперплоскостью или «сдвинутым подпространством». Если и два представления линейного многообразия , то , а . Таким образом многообразие может быть получено сдвигом только одного подпространства.
Размерность линейного многообразия (по определению) равна размерности сдвигаемого подпространства, т.е. .
1. Сумма и пересечение подпространств. Пусть подпространства в . Их пересечение также является подпространством (это утверждение верно для пересечения любого числа подпространств). Объединение подпространств, как правило, не является подпространством. Минимальное подпространство, содержащее и , называется их суммой и обозначается . Сумма может быть также определена как множество всех , представимых в виде , где . Соотношение между размерностями указанных подпространств устанавливает теорема.
Теорема 1. .
Доказательство. Введем следующие обозначения: , , , .
Пусть − базис пересечения . Дополним систему до базиса векторами , а до базиса векторами , т.е. − базис , − базис . Покажем, что является базисом суммы .
Очевидно, что любой вектор разлагается по системе векторов . Докажем, что эта система линейно независима.
Если система линейно зависима, то некоторая нетривиальная линейная комбинация векторов равна комбинации векторов . Это значит, что ненулевой вектор разлагается по системе , т.е. лежит в подпространстве . Все векторы из разлагаются по базису и, т.к. система линейно независима, не могут быть равны линейной комбинации векторов . Следовательно, система линейно независима и образует базис . Подсчитав число векторов системы , получим: , т.е. , что и требовалось доказать.
Если разложение однозначно, то сумма подпространств называется прямой и обозначается . В этом случае размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей, а базис суммы можно получить объединением базисов слагаемых.
Также определяется прямая сумма любого числа подпространств.