3.5 Работы Пуассона по механике упругих тел
Симеон Дени Пуассон (1781—1840 годы) — выдающийся французский механик, математик и физик. В возрасте 17 лет он поступил в Политехническую школу, которая была ведущим высшим учебным заведением Франции. Отбор поступающих в эту школу был жесточайшим. К работе в ней были приглашены видные ученые Франции: Монж, Лаплас, Лагранж, Лакруа, Фурье.
Е
ще
будучи учеником школы, Пуассон представил
свою первую научную работу "О числе
полных интегралов уравнений с конечными
разностями", которая по предложению
академиков Лежандра и Лакруа была опуб
ликована. По окончании в 1800 году
Политехнической школы Пуассон был
оставлен при кафедре математического
анализа, руководителем которой он стал
в 1806 году. В 1809 году Пуассон был назначен
профессором рациональной механики в
Сорбонне.
С момента окончания Политехнической школы и до конца жизни Пуассон вел преподавательскую работу в высших учебных заведениях Франции. В 1837 году ему как члену Королевского совета было поручено руководство преподаванием математики во всех колледжах Франции. За выдающиеся научные заслуги Пуассон в 1812 году был избран действительным членом Парижской академии наук, а в 1826 году — почетным членом Петербургской академии наук. Многочисленные исследования Пуассона охватывают все области науки, которая в то время называлась чистой и прикладной математикой. Список его сочинений составляет свыше 350 работ (не считая отдельно изданных сочинений) — это значит, что с 1800 по 1840 годы он опубликовывал в среднем по девять работ в год. В отношении стиля и характера своих работ Пуассон следовал Эйлеру и Лагранжу, труды которых он знал в совершенстве.
В области математики большой интерес представляют работы Пуассона по определенным интегралам, по уравнениям в конечных разностях, по теории дифференциальных уравнений с частными производными (уравнение Пуассона, интеграл Пуассона), по теории вероятностей (распределение Пуассона, теорема Пуассона). Чрезвычайно велик был диапазон его интересов в области механики. Многочисленные работы Пуассона охватывают разнообразные проблемы теоретической и небесной механики, теории притяжения, гидродинамики, теории упругости, теории колебаний, баллистики и теории механизмов и машин.
Наиболее фундаментальные его труды посвящены вопросам аналитической механики и математической физики. В исследованиях Пуассона этого цикла сказалось влияние и аналитических методов Лагранжа (в особенности в небесной механике), молекулярных представлений Лапласа (гидродинамика, механика деформируемых сред) и научного наследия Эйлера.
В области небесной механики наибольший интерес представляют его труды, в которых рассматриваются вопросы устойчивости Солнечной системы и выводятся дифференциальные уравнения возмущенного движения. При выводе этих уравнений Пуассон применил метод, в котором ввел выражение, названное впоследствии скобками Пуассона, которое получило широкое применение во многих вопросах теории уравнений с частными производными и аналитической механики. Развив методы вариации произвольных постоянных Лагранжа, Пуассон получил в явном виде выражение вариации элементов орбиты небесного тела через производные пертурбационной функции по координатам для одного из шести элементов его орбиты.
В теории притяжения особый интерес представляют его статья “Замечания об уравнении теории притяжений” (в 1813 году) и два мемуара — “О притяжении сфероидов” (в 1829 году) и “О притяжении однородных эллипсоидов” (в 1835 году), в которых он выводит свое знаменитое уравнение с частными производными ∆ u = f, (где Δ — оператор Лапласа) — одну из основ теории потенциала.
Пуассон был одним из основоположников математической теории упругости. В 1819 году он нашел решение уравнения теории упругости для одномерного случая, а в 1829—1831 годах— для двумерного и трехмерного случаев. Его имя носит одна из основных констант теории упругости изотропных тел — коэффициент Пуасссона, т. е. абсолютное значение отношения величины относительной поперечной деформации элемента тела к его относительной продольной деформации.
Его вывод об уравнения теории упругости сыграл существенную роль в теории колебаний и волн вообще и в исследовании звуковых волн в частности. В “Мемуаре об общих уравнениях равновесия и движения твердых тел и жидкостей” Пуассон впервые включил в систему дифференциальных уравнений движения жидкости уравнение теплопроводности. Его имя носит кривая, характеризующая обратимый адиабатический процесс в идеальном газе (адиабата Пуассона), уравнение которой Пуассон вывел в 1823 году.
Достижения Пуассона в области аналитической механики наиболее полно изложены в его двухтомном “Курсе механики”, первое издание которого вышло в 1811 году труд, основанный на традициях Лагранжа и Лапласа, отличается в то же время большей доступностью и примерами из многих областей механики и смежных с ней разделов физики. Долгое время он был одним из лучших руководств по механике.
“Курс механики” состоит из четырех частей: статики, динамики, гидростатики и гидродинамики. В разделе статики Пуассон рассматривает условие равновесия “простых машин”, с помощью которого переходит к общему закону равновесия тел. Этот закон он выводит, пользуясь принципом виртуальных перемещений, рассматривая сами перемещения, так и проекции малых путей, описываемых точками приложения сил, на их направления. При изложении динамики Пуассон исходит из основных ее принципов: сохранения движения центра тяжести, сохранения площадей и живых сил.
Исходя из последнего он показывает, почему при устройстве машин следует избегать явлений трения и удара тел. Пуассону аналитическая механика обязана и переходом от понятия обобщенных скоростей, к их линейной комбинации — обобщенным импульсам, которые он впервые ввел в “Мемуаре о вариации произвольных постоянных в вопросах механики” (1809 год). Многие вопросы статики и динамики разработаны в “Курсе механики” в виде, удобном для приложений.
“Курс механики” неоднократно переиздавался, и в него были введены разделы, посвященные прикладной механике. В частности, в издание 1833 года включен раздел, посвященный механике машин “О применении принципа живых сил к вычислению движения машин”, в котором Пуассон рассматривает построение уравнения движения машины в общем виде. “Машины, по его определению, суть приспособления или системы твердых тел, предназначенные для переноса сил от одной части этих приспособлений к любой из иных частей”. Следует заметить, что до Пуассона вопросами механики машин обычно занимались представители геометрического направления в механике, а представители аналитического направления обходили их стороной. Пуассон впервые применил аналитические методы к разработке подобных прикладных проблем, и в этом смысле его “Курс механики” явился одним из камней, заложенных в фундамент прикладной механики.
Труды Пуассона, и в частности “Курс механики”, на котором было воспитано не одно поколение французских ученых, сыграли значительную роль в развитии многих узловых проблем механики.
3.6 Вклад Кулона и других зарубежных и Российских ученых в развитие строительной механики
Строительная механика – это наука, изучающая способы расчета на прочность, жесткость и устойчивость сооружений в целом. В отличие от нее “Сопротивление материалов” рассматривает вопросы прочности, жесткости и устойчивости отдельных элементов сооружения. При решении практических задач строительная механика использует методы теоретической механики, графической статики, сопротивления материалов, теории упругости и теории пластичности.
Помимо вопросов упругости элементов конструкций из металла, древесины и из других материалов ученых конца XVII и начала XVIII веков заинтересовала теория давления грунтов на подпорные стенки. Зарождение этой проблемы связано с началом строительства в этот период подпорных стенок.
Первый научный труд по этой проблеме принадлежит французу Вобану, опубликовавшему его в 1687 году. Это сочинение, посвященное расчету подпорных стенок, носило чисто эмпирический характер. Насколько далеки были инженеры того времени от действительности, показывает следующий факт. Современник Вобана инженер Монье предлагал принимать плоскость сползания совпадающей с плоскостью естественного откоса. А направление реакции неподвижной части грунта он считал нормальным к плоскости сползания. То, что на величину давления земли сильное влияние оказывает трение, впервые указал в 1726 году инженер Купле.
Стройную теорию давления грунта на вертикальную грань стенки с учетом и трения и сцепления дал Кулон в 1773 году. По этой его теории предельного состояния грунта боковое давление на смещающуюся стенку (активное давление) определяется без введения связи между перемещениями стенки и усилиями, действующими на нее со стороны грунта.
При давлении на стенку сыпучих тел в состоянии предельного равновесия по Кулону должны соблюдаться два условия:
по плоскости, проведенной в сыпучем теле, равнодействующая отклоняется от нормали к плоскости на угол, равный углу внутреннего трения грунта;
по плоскости задней грани подпорной стенки равнодействующая сил взаимодействия отклоняется от нормали к плоскости задней грани стенки на угол трения сыпучего тела по стенке; при этом направление возможного сдвига частиц сыпучего тела происходит вдоль этой плоскости.
При этом по теории Кулона определяются два предельных давления грунта:
активное – это давление грунта на стенку, которое возникает в результате сдвига стенки; оно направлено в сторону возможного сдвига стенки и определяется оно величиной давления массы грунта сползающей призмы;
пассивное – это реактивное сопротивление грунта, которое развивается при определенном смещении стенки вовнутрь грунтовой массы; направлено это давление в противоположную сторону смещения стенки и определяется величиной давления выпираемой массы грунта
В основе теории активного давления Кулона лежат следующие предпосылки:
активное давление сыпучего тела определяется от сползающей массы грунта, от так называемой призмы сползания, которая принимается за твердое тело;
давление находится в момент предельного равновесия клина сползания, когда результирующая реакция со стороны каждой плоскости сползания отклоняется от нормали к плоскости на угол трения;
поверхности сползания принимаются за плоскости;
угол наклона линии сползания находится аналитически из условия максимума величины активного давления как функции этого угла.
Последней предпосылке Кулон уделял особое внимание, учитывая как трение, так и сцепление; угол внутреннего трения он приближенно заменял углом естественного откоса и не вводил трение грунта по задней грани стенки.
Реально поверхность сползания не является плоскостью, а линия сползания – прямой, и в действительности активное давление при криволинейной линии сползания оказывается несколько большим, чем Кулоново давление. Следовательно, по Кулону активное давление, полученное введением плоских поверхностей скольжения, не является наибольшим, а представляет собой максимальную величину из всех давлений для семейства заданных плоских поверхностей. Плоские поверхности в своих разработках применяли и другие последователи Кулона. Так, Понселе (в 1840 году) рассмотрел задачу по определению давления на стенку с любым наклоном задней грани и при наклонной ее поверхности. Он предложил графическое решение этой задачи.
Дальнейшее развитие методов теории упругости связано с именем Ренкина, который в 1857 году, дал простое решение задачи о напряжениях в сыпучем теле и о направлениях площадок скольжения в нем. В 1880 году Энгессер вместо прямой линии сползания предложил ввести ломаную линию. Эту идею Энгессера подробно разработал в 1932 году Крей, который дал простой способ отыскания вынужденной линии скольжения. Для этого он воспользовался рассмотрением напряженного состояния грунта вблизи стенки в предельном состоянии. При этом Крей и в дальнейшем Канн широко использовали ценное графическое представление напряженного состояния, предложенное Мором для отыскания величин и направлений главных напряжений. Кульман разработал в 1886 году графический способ нахождения максимального давления грунта в общем случае криволинейной поверхности, а Ребхан еще ранее (в 1871 году) дал графическое представление условия экстремума давления в форме равенства площадей силового треугольника и сечения призмы сползания. Экспериментальные работы были проведены Форхеймером в 1882 году, Мюллер-Бреслау в 1906 году, Франциусом и в 30-х годах Терцаги и Креем .
Большой вклад в развитие теории давления грунтов и решение различных задач расчета фундаментов внесли отечественные ученые. Известны первые работы по теории устойчивости песчаных оснований нашего военного инженера Г. Е. Паукера (1822—1889 годы), который в 1857 году предложил, на основе рассмотрения явления выпирания грунта, формулу для расчета глубины заложения фундамента. В 1869 году впервые был издан курс “Основания и фундаменты” русского военного инженера проф. В. Карловича. Проф. В. И. Курдюмов провел в 1889 году большие опытные исследования работы песчаного основания. Им были получены на фотопластинке криволинейные траектории движения частиц грунта основания. Метод определения несущей способности свай по их “отказу” впервые разработал наш известный исследователь в области механики грунтов Герсеванов. Формулу Паукера усовершенствовал в 1914 году Белецкий, известный своими трудами по статике сыпучих тел.
К 20-м годам двадцатого столетия относятся труды профессора Пузы-ревского, применившего теорию упругости к решению ряда задач теории расчета оснований и фундаментов. К этому же времени относятся работы по механике грунтов Терцаги, переизданные у нас в 1933 году. Следует отметить большой вклад в теорию расчета высоких опор и общую теорию давления грунтов, который внесли И. П. Прокофьев, Н. И. Безухов, С. С. Голушкевич и многие другие отечественные ученые.
Большую работу по развитию теории круглоцилиндрической поверхности сползания с учетом сцепления проделал Феллениус. Ценные теоретические разработки по применению теории пластичности к задачам о несущей способности грунтовых оснований проведены Коттером в 1903 году, Прандтлем в 1921 году, Рейснером в 1924 году, Карманом, Како и другими. Первые основные задачи теории пластичности для грунтов были решены Прандтлем, Е. Рейснером, В. И. Новоторцевым (в 1938 году) и другими. Общая же теория предельного равновесия грунтов в условиях плоской задачи была разработана в 1939 году Соколовским. Осесимметричную задачу теории предельного равновесия сыпучей среды разрешил Березанцев. Следует заметить, что впервые применил теорию пластичности к определению несущей способности грунтовых оснований Новоторцев. Графическое решение задачи определения давления сыпучего тела на основе теории пластичности грунтов, разработанной В. В. Соколовским, дал в своей работе Голушкевич .
Среди ряда работ по расчету грунтовых оснований следует назвать замечательные работы Н. А. Цытовича, Н. Н. Маслова, М. Н. Гольдштейна, В. А. Флорина, М. И. Горбунова-Посадова и других. Б. Д. Васильевым разработаны основные положения теории совместной работы сооружения, и грунтов основания при большой сжимаемости последнего. Трудами Д. Д. Баркана, О. А. Савинова, Б. П. Татарникова и других созданы различные типы вибраторов для механического погружения свай. Известны также ценные работы по динамике грунтов Г. А. Гениева и О. Я. Шехтер.
Стремление наиболее полно использовать несущую способность современных конструкционных материалов, а также выяснить истинную несущую способность конструкций и их элементов потребовало изучения работы систем не только в упругой, но и в упруго-пластической стадии. Переход к расчету конструкций с учетом пластических деформаций повлек за собой использование аппарата теории пластичности — одного из разделов строительной механики, отличающегося, как правило, от методов теории упругости существенно большей громоздкостью.
В трудах отечественных ученых А. А. Ильюшина, В. В. Соколовского и зарубежных исследователей получили решение многие актуальные и интересные задачи, однако наряду с более или менее строгими решениями в теории пластичности находят приложение и прикладные инженерные методы, успешно разработанные А. А. Гвоздевым, А. Р. Ржаницыным, А. А. Чирасом и др. Большой вклад в развитие приближенных решений внесен Н. И. Безуховым. Одна из первых его·работ по расчету конструкций из материалов, не следующих закону Гука, по глубине обобщений и по достигнутым результатам стала классическим исследованием, наложившим существенный отпечаток на развитие прикладных методов теории пластичности. Истинное поведение материала характеризуется либо диаграммой идеально упруго-пластического материала, либо диаграммой с упрочнением при однократном загружении конструкции.
В настоящее время в строительной механике разработано достаточно много приближенных методов решения двумерных задач, математическая модель которых представляется дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков. К ним относятся задачи поперечного изгиба и свободных колебаний мембран и пластинок, устойчивости и предельного состояния пластинок, кручения упругих призматических брусьев. Основная проблема в этом направлении исследований – разработка и совершенствование инженерных методов решения задач строительной механики, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможностью получения двусторонних оценок.