3.4 Механика упругих и гибких тел

Еще в древности были установлены некоторые эмпирические правила, соблюдение которых обеспечивало прочность и надежность сооружений. В XIII в. Иордан Неморарий предпринял первую попытку определить форму кривой, которую принимает под действием нагрузки ось закрепленного стержня, т. е. упругой линии. В XVI в. Леонардо да Винчи изучал вопрос о сопротивлении балок изгибу; он занимался, вероятно, и задачей о сопротивлении колонн. Галилей в "Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук" в 1638 году положил начало учению о сопротивлении материалов. В 1678 году Гук нашел основной закон линейной зависимости между силой и деформацией при растяжении пружин, струн, тонких стержней и произвел ряд соответствующих опытов. Так были заложены основы теории упругости.

В 1691 г. Я. Бернулли начал серию исследований, посвященных проблеме упругой линии. Некоторые предпосылки и выводы его неточны, но в целом он значительно продвинулся вперед. В частности, он вывел дифференциальное уравнение задачи и доказал, что кривизна линии изгиба пропорциональна изгибающему моменту в точке,— положение, которое использовали затем другие ученые, и среди них Эйлер.

Эйлер рассмотрел задачу об упругих кривых в большом приложении к "Методу нахождения кривых линий" в 1744году. Работа эта была вызвана замечанием, сделанным Д. Бернулли в письме Эйлеру от 22 октября 1742 года Бернулли предложил применить к задаче изопериметрический метод, т. е. свести ее к задаче о минимуме некоторого интеграла. Реализуя эту идею, Эйлер по-новому вывел дифференциальное уравнение Я. Бернулли и решил его при различных граничных условиях. В другом отделе того же приложения Эйлер рассмотрел продольный изгиб колонны под действием осевой сжимающей силы и получил выражение для предельной нагрузки, превышение которой приводит к изгибу; эта формула имеется теперь во всех справочниках. Затем Эйлер переходит к изучению колебаний стержней, начиная со стержня, в естественном состоянии прямого и с жестко заделанным в вертикальном положении верхним концом. Эта задача приводится к интегрированию обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка. В заключение разобраны задачи о колебании стержней при других предположениях о закреплении их концов.

Исследования Д. Бернулли по колебаниям стержней изложены главным образом в двух его статьях: "Физико-геометрические рассуждения о колебании и звучании стержней" и "Механико-геометрические исследования о многообразных звуках, различным образом издаваемых упругими стержнями, иллюстрированные и подкрепленные акустическими опытами”. Обе статьи были нaписаны в самом начале 40-х годов, но увидели свет только в XIII томе “Commentarii” Петербургской академии наук, вышедшем в 1751 г. Д. Бернулли вывел линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка для гармонических колебаний горизонтального стержня и дал его общее решение, разобрал несколько задач с различными граничными условиями, соответствующими защемленному, опертому и свободному концам, и вывел уравнения частот колебаний. Теоретические выводы Бернулли coпоставлял с данными опытов над тонкими длинными стержнями. Во второй статье рассмотрена акустическая сторона вопроса.

Д. Бернулли принадлежат и другие важные работы по колеблющимся системам. Следует отметить из них две тесно связанные между собой статьи: “Теоремы о колебаниях тел, соединенных гибкой нитью и вертикально подвешенных к цепи” и “Доказательства своих теорем о колебаниях тел, соединенных гибкой нитью и вертикально подвешенных к цепи”, помещенные соответственно в VI томе “Commentarii” за 1732—1733 годы и в VII томе за 1734—1735 годы. В них рассмотрены малые колебания дискретных систем грузов, связанных с вертикално подвешенными невесомыми гибкими нитями, а затем как предельный случай — малые колебания однородной тяжелой гибкой цепи (каната).

Особое значение имели работы Эйлера и Д. Бернулли о малых колебаниях натянутой однородной струны, закрепленной на концах. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных этой задачи записал впервые Даламбер, выразивший общее решение в виде суммы двух произвольных функций, которые можно полностью определить, зная начальную форму струны и начальное распределение скоростей ее точек. Эйлер немедленно развил далее метод Даламбера (метод характеристик) и показал, как графически строить форму струны в любой момент времени по начальным условиям. Д. Бернулли предложил представлять колебание струны в виде суммы бесконечного числа главных синусоидалъных колебаний (принцип суперпозиции), т. е. выражать решение в форме тригонометрического ряда.

Не касаясь долгого “спора о струне», в котором участвовали все трое названных ученых, а затем и многие другие ученые XVIII века, следует заметить только, что исследование этой задачи положило начало в высшей степени плодотворной разработке приемов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными, с одной стороны, и теории тригонометрических рядов — с другой. Задача о струне обыкновенно относится к области математической физики, дисциплины, во многом пересекающейся с теоретической механикой. Д. Бернулли и Эйлep рассмотрели и другие важные задачи математической физики. Так, в статье “О колебательном движении тимпанов”, напечатанной в X томе “Novi Commentarii” 1764 году, Эйлер исследовал малые колебания и провисание идеальной гибкой мембраны прямоугольной или круговой формы. Используя идеи этой работы Эйлера, племянник Д. Бернулли Якоб II Бернулли (1759—1789 годы), состоявший членом Петербургской академии наук с 1786 по 1789 годы, исследовал задачу о малых колебаниях пластинки. Математическим результатом здесь, как и в гидродинамике, являлось введение новых типов дифференциальных уравнений, новых приемов их решения, различных специальных функций и их разложений в ряды и т. д.